Avoin joukko

Wikipedia

Kuvan joukko V ei ole avoin, sillä pisteen p ympäristö ei sisälly joukkoon V.

Avoin joukko on topologian keskeisin peruskäsite. Avoimien joukkojen avulla voidaan suoraan määritellä mm. topologian keskeiset käsitteet raja-arvo, jatkuvuus ja yhtenäisyys.

[muokkaa] Määritelmä

Olkoon $(X,\mathcal{T})$ topologinen avaruus. Tällöin joukko $A \subset X$ on avoin jos ja vain jos $A \in \mathcal{T}$ . Toisin sanoen topologisen avaruuden topologian alkioita kutsutaan avoimiksi joukoiksi.

[muokkaa] Esimerkkejä

Erityisen tärkeitä avoimia joukkoja ovat metrisen avaruuden avoimet kuulat. Ne muodostavat kannan metrisen avaruuden ns. tavalliselle topologialle. Erityisesti reaaliakselin avoin väli on klassinen esimerkki avoimesta joukosta.

[muokkaa] Ympäristöt

Avoimiin joukkoihin liittyy oleellisesti ympäristön käsite. Jos $x \in X$ ja on olemassa avoin joukko $U \in \mathcal{T}$ , jolla $x \in U$ , niin joukkoa U kutsutaan pisteen x ympäristöksi.

Avoin joukko voidaan karakterisoida myös ympäristöjen avulla. Voidaan nimittäin osoittaa, että joukko U on avoin jos ja vain jos jokaisella joukon U pisteellä on olemassa ympäristö, joka sisältyy joukkoon U. Metrisissä avaruuksissa tämä annetaan suoraan avoimen joukon määritelmäksi.

Ympäristöjen ja avoimien joukkojen avulla voidaan helposti määritellä keskeisiä topologian käsitteitä:

Topologisen avaruuden $(X,\mathcal{T})$ jonolla ${( x_n )}_{n \in \mathbb{N}}$ on raja-arvo pisteessä $a \in X$ jos ja vain jos jokaiselle pisteen $a$ ympäristölle $U \in \mathcal{T}$ löydämme indeksin $n_0 \in \mathbb{N}$ , jolla $x_n \in U$ kaikilla $n \geq n_0$ .

Jos $(X,\mathcal{T})$ ja $(Y,\mathcal{T}')$ ovat topologisia avaruuksia, niin kuvaus $f : X \rightarrow Y$ on jatkuva pisteessä $a \in X$ jos ja vain jos jokaiselle pisteen $f (a)$ ympäristölle $V \in \mathcal{T}'$ löydämme pisteen a ympäristön $U \in \mathcal{T}$ , jolle $fU \subset V$ . (tai yhtäpitävästi $U \subset f^{-1} V$ )