Laurentova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laurentova řada (Laurentův rozvoj) komplexní funkce $f (z)$ je v komplexní analýze mocninná řada obsahující na rozdíl od Taylorovy řady i záporné mocniny.

Obsah

1 Definice
2 Hlavní a regulární část řady
3 Konvergence
4 Vlastnosti
5 Související články

[editovat] Definice

Mějme komplexní funkci $f (z)$ holomorfní v mezikruží $\mathbf{M}$ se středem v bodě $z 0$ , vnitřním poloměrem $r 1$ a vnějším poloměrem $r 2$ , tzn. $r 1 < | z - z 0 | < r 2$ . Funkci $f (z)$ lze v $\mathbf{M}$ vyjádřit Laurentovou řadou, která má tvar

$f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n {(z - z_0)}^n$ ,

kde

$a_n = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c \frac{f(z) \mathrm{d}z}{{(z - z_0)}^{n+1}}$

pro $n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ , kde $c$ je libovolná kružnice se středem v $z 0$ , která leží v oblasti $\mathbf{M}$ , a je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku.

[editovat] Hlavní a regulární část řady

Laurentova řada se skládá ze dvou částí. Z tzv. regulární části

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n {(z - z_0)}^n$

a hlavní části

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{-n}}{{(z - z_0)}^n}$

[editovat] Konvergence

Pod konvergencí Laurentovy řady rozumíme to, že konverguje jak její regulární část, tak její hlavní část. Regulární část přitom konverguje uvnitř určité kružnice se středem v bodě $z 0$ , zatímco hlavní část konverguje vně (obecně jiné) kružnice se stejným středem. Laurentova řada pak konverguje na společném mezikruží.

[editovat] Vlastnosti

Z Cauchyovy věty vyplývá, že pokud je $f (z)$ holomorfní uvnitř vnější kružnice, pak odpadá hlavní část Laurentovy řady a Laurentova řada přechází v řadu Taylorovu.