Ряд Лорана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням $(z - a)$ , то есть ряд вида

$\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n$

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n$ — правильная часть ряда Лорана и
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-a)^n}$ — главная часть ряда Лорана.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

[править] Свойства

Eсли внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

$D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}$

Во всех точках своего кольца сходимости $D$ ряд Лорана сходится абсолютно;
Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
На любом компактном множестве $K\subset D$ ряд сходится равномерно;
Сумма ряда Лорана в $D$ есть аналитическая функция $f (z)$ ;
Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в $D$ почленно;
Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в $D$ , то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
Коэффициенты $a n$ ряда Лорана определяются через его сумму $f (z)$ формулами

$a_n=\frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}$

где

γ(t) = ρ e t

, $t\in [0,2\pi]$ ,

r < ρ < R

— любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

[править] Теорема Лорана

Применение ряд Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция $f (z)$ в кольце $D= \{z\in\mathbb C\,|\,r<|z-a|<R<\infty\}$ представима в $D$ сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

$D= \{z\in\mathbb C\,|\,0<|z-a|<R<\infty\}$

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция $f (z)$ представима рядом Лорана, который и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки!