Laurentreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een Laurentreeks is gedefinieerd t.o.v. een punt c en een integratieweg γ die in een ring (hier rood) moet liggen, waarbinnen de functie analytisch is

De Laurentreeks van een complexe functie f is in de wiskunde een voorstelling f als een machtreeks met eventueel ook termen met een negatieve macht. Een Laurentreeks kan soms toegepast worden als een taylorreeks niet bestaat. De reeks is genoemd naar Pierre Alphonse Laurent, die hem in 1843 introduceerde.

[bewerk] Definitie

De Laurentreeks van een complexe functie f in het punt c is de machtreeks:

$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n$ ,

waarin de coëfficiënten a_n gegeven worden door de kringintegraal

$a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\ dz}{(z-c)^{n+1}}\,$

over een gesloten contour γ tegen de klok in. De contour γ moet een rectificeerbaar pad zijn dat zichzelf niet snijdt, het punt c bevatten, en in een ringvormig gebied liggen, waarbinnen f analytisch is. De ontwikkeling van f geldt overal binnen de genoemde ring.

In de praktijk blijken de integralen vaak moeilijk te berekenen, en maakt men gebruik van bekende taylorontwikkelingen om de Laurentreeks samen te stellen.

[bewerk] Voorbeeld

Voor het bepalen van de Laurentreeks in het punt i van de functie

$f(z)=\frac{1}{z^2 + 1}$

moeten de integralen

$a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{dz}{(z^2+1)(z-i)^{n+1}}\,$

over een contour γ om i bepaald worden. Direct is echter te zien dat:

$\frac{1}{z^2 + 1} =\frac{1}{(z-i)(z+i)}$

$\frac 1{z + i} = \frac 1{2i + (z -i)}=-\tfrac 12i\frac 1{1-\tfrac 12i(z - i)},$

die direct als meetkundige reeks geschreven kan worden:

$-\tfrac 12i\frac 1{1-\frac 12i(z - i)}=-\tfrac 12i\left(1+\tfrac 12i(z - i)+\left(\tfrac 12(z - i)\right)^2+\left(\tfrac 12i(z - i)\right)^3+\ldots\right)$