Polospojitost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Přesněji shora polospojitost a zdola polospojitost jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno je reálná funkce f shora polospojitá v bodě x, pokud pro body y blízké bodu x není f(y) o moc větší než f(x). Funkce f je zdola polospojitá, když v předchozím místo větší řekneme menší.

Obsah

1 Přesná definice
- 1.1 Shora polospojitost
- 1.2 Zdola polospojitost
2 Vlastnosti
3 Mnemotechnika
4 Příklady
5 Související články

[editovat] Přesná definice

Shora polospojitá funkce.

[editovat] Shora polospojitost

Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je shora polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že $f(y)<f(x)+\varepsilon$ kdykoliv $y \in U$ .

Ekvivalentně můžeme říci, že f je shora polospojitá v x, pokud $\limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x)$ .

Funkce f je shora polospojitá v X , jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru $\{x \in X: f(x)<a\}$ (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

[editovat] Zdola polospojitost

Zdola polospojitá funkce.

Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je zdola polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že $f(y)>f(x)-\varepsilon$ kdykoliv $y \in U$ .

Ekvivalentně můžeme říci, že f je zdola polospojitá v x, pokud $\liminf_{y \to x} f(y) \geq f(x)$ .

Funkce f je zdola polospojitá v X , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru $\{x \in X: f(x)>a\}$ (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

[editovat] Vlastnosti

$\limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x) \leq \liminf_{y \to x} f(y)$ ukazuje, že pokud je f v x polospojitá shora i zdola, je již v x spojitá a (samozřejmě) i obráceně.

Funkce f, která je shora polospojitá na kompaktním prostoru X, je již nutně shora omezená na X a na X má maximum. Analogicky, zdola polospojitá funkce na kompaktu je zdola omezená a má minimum.

součet

Protože $\{\sup_{f\in \mathcal{F}}f>a\}=\bigcup_{f\in \mathcal{F}}\{f>a\}$ , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí $\mathcal{F}$ opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko zdola za shora a supremum za infimum.

Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad $\mathcal{F}=\{\arctan(n\cdot):n \in \mathbb{N}\}$ .

[editovat] Mnemotechnika

Je zajímavé, že naprosté většině lidstva činí problémy zapamatovat si, která polospojitost je která.

[editovat] Příklady

Charakteristická funkce otevřené množiny je zdola polospojitá.
Charakteristická funkce uzavřené množiny je shora polospojitá.
Norma na Banachově prostoru X je slabě zdola polospojitá (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru (X,w)). Je-li dimenze X nekonečná, norma nemůže být slabě shora polospojitá tedy ani ne slabě spojitá.