半連續性
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在數學分析中，半連續性是實值函數的一種性質，分成上半連續與下半連續，半連續性較連續性弱。
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[编辑] 形式定義
設 X 為拓撲空間，
，而 
為實值函數。若對每個 ε > 0 都存在 x0 的開鄰域 U 使得 
，則稱 f 在 x0 上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述：
若 f 在 X 上的每一點都是上半連續，則稱之為上半連續函數。
下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在 x0 的開鄰域 U 使得 
，則稱 f 在 x0 下半連續。下極限的等價表述為：
若 f 在 X 上的每一點都是下半連續，則稱之為下半連續函數。
拓撲基 ![]-\infty, a[ \;\;(a \in \R)](../../../../math/4/a/d/4ad6398921e95b1553520e9b0d9a3f14.png)
賦予實數線 
較粗的拓撲，上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 ![]a, +\infty[ \;\;(a \in \R)](../../../../math/a/e/1/ae101504dbcb31d421601d433f24f53c.png)
，則得到下半連續函數。
[编辑] 例子
考慮函數
此函數在 x0 上半連續，而非下半連續。
上整數函數 
處處皆上半連續。同理，下整數函數 
處處皆下半連續。
[编辑] 性質
一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。
若 f,g 在某一 點上半連續，則 f + g 亦然；若兩者皆非負，則 fg 在該點也是上半連續。若 f 在一點上半連續，則 − f 在該點下半連續，反之亦然。
若 X 為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。
設 fn 為下半連續函數序列，而且對所有 
有
則 f 是下半連續函數。
開集的指示函數為下半連續函數，閉集的指示函數為上半連續函數。
[编辑] 文獻
- Gelbaum, Bernard R.，Olmsted, John M.H.（2003）．Counterexamples in analysis．Dover Publications．ISBN 0486428753．
- Hyers, Donald H.，Isac, George; Rassias, Themistocles M.（1997）．Topics in nonlinear analysis & applications．World Scientific．ISBN 9810225342．
