Полунепрерывная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

полунепрерывная сверху функция.

полунепрерывная снизу функция.

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значение функции в ней. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней.

[править] Определения

Пусть дано полное метрическое пространство $(X,\varrho).$ Вещественнозначная функция $f:X \to \mathbb{R}$ называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке $x_0\in X$ , если

$\varliminf_{x\to x_0}f(x)\ge f(x_0)\; \left(\varlimsup_{x\to x_0}f(x)\le f(x_0)\right).$

Функция $f$ называется полунепрерывной снизу (сверху) на $M \subset X$ , если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех $x_0\in M$ .

[править] Свойства

Функция $f:X \to \R$ полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество $\{x\in X \mid f(x) > a\}$ открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого $a\in \R.$
Пусть $f,g:X \to \R$ суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма $f + g$ также полунепрерывна снизу (сверху).
Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке $x 0$ функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в $x 0$ . Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций $f_n: X \to \mathbb{R},\; n\in \mathbb{N}$ таких, что $f_{n+1}(x) \ge (\le) f_n(x)\; \forall n\in \mathbb{N}\; \forall x\in X.$ Тогда если существует предел $\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)\; \forall x \in X,$ то $f$ полунепрерывна снизу (сверху).
Если $u:X \to \mathbb{R}$ и $v:X \to \mathbb{R}$ есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
$-\infty < v(x) \le u(x) < \infty,\; x\in X,$
то существует непрерывная функция $f:X \to \mathbb{R}$ , такая что
$v(x) \le f(x) \le u(x),\; x\in X.$
(Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество $K \subset X.$ Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция $f:K\to \R$ достигает на $K$ своего минимума (максимума).

[править] Примеры

Целая часть $x\mapsto [x]$ является полунепрерывной сверху функцией;
Дробная часть $x\mapsto \{x\}$ полунепрерывная снизу.
Индикатор $\mathbf{1}_U$ произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой $\varrho$ , множества $U \subset X$ является полунепрерывной снизу функцией.
Индикатор $\mathbf{1}_V$ произвольного замкнутого множества $V \subset X$ является полунепрерывной сверху функцией.