Měřitelný kardinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Obsah

1 Definice
2 Vlastnosti
- 2.1 Měřitelný ultrafiltr
- 2.2 Měřitelný kardinál
3 Související články

[editovat] Definice

Řekneme, že kardinální číslo $κ$ je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na $κ$ netriviální $κ$ -úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než $κ$ množin.

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Měřitelný ultrafiltr

Každý netriviální $κ$ -úplný ultrafiltr $\mathcal{U}$ na $κ$ definuje $\,\kappa^{<}$ -aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než $κ$ množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem $μ(X) = 1$ pro $X\in \mathcal{U}$ a $μ(X) = 0$ jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální $κ$ -úplný ultrafiltr na $κ$ . Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál $κ$ , na němž existuje $\,\kappa^{<}$ -aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální $κ$ -úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu $κ$ nazývá měřitelný ultrafiltr na $κ$ nebo jen míra na $κ$ .

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

[editovat] Měřitelný kardinál

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je $κ$ nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje $\alef_{1}$ -úplný ultrafiltr, pak $κ$ je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině $\,\kappa^{\kappa}$ všech funkcí z $κ$ do $κ$ pro měřitelný kardinál $κ$ takto: Nechť $\mathcal{U}$ je měřitelný ultrafiltr na $κ$ . Pro funkce $f,g \in \kappa^{\kappa}$ definujeme

$f <^{\mathcal{U}} g$ právě když $\{x\in \kappa ; f(x)<g(x)\}\in \mathcal{U}$
$f =^{\mathcal{U}} g$ právě když $\{x\in \kappa ; f(x)=g(x)\}\in \mathcal{U}$
$f \leq^{\mathcal{U}} g$ právě když $f <^{\mathcal{U}} g$ nebo $f =^{\mathcal{U}} g$
$\,k_a$ , kde $a\in \kappa$ , je taková funkce, která splňuje $\,k_{a}(x)= a$ pro všechna $\,x\in \kappa$
funkce f je první za konstantami, je-li $k_a <^{\mathcal{U}} f$ pro všechna $a\in \kappa$ a kdykoli $g <^{\mathcal{U}} f$ , pak $g =^{\mathcal{U}} k_a$ pro nějaké $a\in \kappa$

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li $κ$ měřitelný kardinál, pak na $κ$ existuje měřitelný ultrafiltr $\mathcal{U}$ takový, že identita na $κ$ (fce $\,id(x)$ , že $\,id(x)=x$ pro $x\in \kappa$ ) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem $κ$ leží právě $κ$ nedosažitelných kardinálů.