Liczba mierzalna

Z Wikipedii

Liczba mierzalna - nieprzeliczalna liczba kardynalna κ na której istnieje κ-zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna κ na której istnieje κ-addytywna miara która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory κ.

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w model wewnętrzny M.

Spis treści 1 Rys historyczny 2 Definicje 3 Przykładowe własności 4 Bibliografia 5 Zobacz też

[edytuj] Rys historyczny

• W 1905, Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia.
• Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory i znikająca na punktach.
• W 1929, Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje.^[1]
• W 1930, Stanisław Ulam^[2] wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w {0,1} wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

[edytuj] Definicje

Niech κ będzie liczbą kardynalną.

• κ-addytywna miara na κ to funkcja taka, że

(a) μ(κ) = 1 ale μ({x}) = 0 dla każdego , oraz

(b) jeśli jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów κ oraz λ < κ, to

jest skończonym podzbiorem λ}.

• Filtr F podzbiorów zbioru S jest

(i) κ-zupełny jeśli przekrój mniej niż κ zbiorów z F należy do F,

(ii) filtrem głównym jeśli dla pewnego zbioru .

Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje κ-addytywna miara na κ. Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest liczbą mierzalną jeśli istnieje κ-addytywna miara na κ o wartościach w {0,1}.

Należy zauważyć, że jeśli jest κ-addytywną miarą na κ, to jest κ-zupełnym niegłównym ultrafiltrem na κ. Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje κ-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów κ. (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

[edytuj] Przykładowe własności

• Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.
• W ZFC, każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne" jest niesprzeczna.
• Zakładając ZF+AD:

1. jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
2. jest liczbą mierzalną.

• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na analityczne podzbiory są zdeterminowane^[3].
• Robert M. Solovay^[4] udowodnił, że

(i) Jeśli κ jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu forsuje że

i κ jest rzeczywiście mierzalna.

(ii) Jeśli κ jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to κ jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.

• Jeśli κ jest liczbą mierzalną oraz 2^λ = λ ⁺ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej λ < κ, to również 2^κ = κ ⁺ .

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Banach, S.; Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. "Fundamenta Mathematicae"14 (1929), s. 127-131.
2. ↑ Ulam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. "Fundamenta Mathematicae" 16 (1930), s. 140-150.
3. ↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fund. Math." 66 (1969/1970), s. 287-291.
4. ↑ Solovay, R.M.: Real-valued measurable cardinals. "Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)", Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• teoria mnogości,
• duże liczby kardynalne,
• liczba nieosiągalna,