Lebesgueova míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lebesgueova míra představuje v matematice standardní postup, kterým je podmnožině Euklidova prostoru přiřazována délka, obsah plochy nebo objem. Lebesgueova míra je zobecněním pojmu objem (popř. obsah nebo délka).

Lebesgueova míra se uplatnila při definici Lebesgueova integrálu.

Označuje se podobně jako míra , např. $\mu(\mathbf{M}), \mu\mathbf{M}, \operatorname{m}\mathbf{M}, \operatorname{mes}\mathbf{M}$ , popř. $\operatorname{meas}\mathbf{M}$ . Je-li potřeba zdůraznit, že se jedná o Lebesgueovu míru, lze místo $μ$ použít $λ$ .

Množiny, kterým lze přiřadit lebesgueovu míru se označují jako lebesgueovsky měřitelné.

Lebesgueova míra byla zavedena francouzským matematikem Henri Lebesguem.

[editovat] Měřitelná množina

Míra prázdné množiny je definitoricky rovna nule, tzn. $\mu(\emptyset)=0$ .
Míra (otevřeného nebo uzavřeného) intervalu je rovna jeho délce, tzn. $\mu(a,b) = \mu\langle a,b\rangle = \mu(a,b\rangle = \mu\langle a,b) = b-a$
Lebesgueova míra kartézského součinu intervalů $\mathbf{M}_1 \times \mathbf{M}_2 \times ... \times \mathbf{M}_n$ je rovna součinu délek jednotlivých intervalů. Označíme-li délku i-tého intervalu jako $|\mathbf{M}_i|$ , pak $\mu(\mathbf{M}_1 \times \mathbf{M}_2 \times ... \times \mathbf{M}_n)=|\mathbf{M}_1|\cdot|\mathbf{M}_2|\cdots|\mathbf{M}_n|$
Míra disjunktních intervalů $\mathbf{M}_k$ je rovna součtu $\sum_k \mu(\mathbf{M}_k)$ .
Vnější Lebesgueovou mírou $\mu^*(\mathbf{M})$ neprázdné množiny $\mathbf{M}$ označujeme infimum měr všech omezených otevřených množin $\mathbf{P}$ , které obsahují množinu $\mathbf{M}$ , tzn.

$\mu^*(\mathbf{M}) = \inf_{\mathbf{M} \subset \mathbf{P}} \mu(\mathbf{P})$

Jako vnitřní Lebesgueovu míru $\mu_*(\mathbf{M})$ neprázdné množiny $\mathbf{M}$ označujeme supremum měr všech omezených uzavřených množin $\mathbf{Q}$ , které jsou obsaženy v množině $\mathbf{M}$ , tzn.

$\mu_*(\mathbf{M}) = \sup_{\mathbf{Q} \subset \mathbf{M}} \mu(\mathbf{Q})$

Pro neprázdnou omezenou množinu $\mathbf{M}$ platí

$0 \leq \mu_*(\mathbf{M}) \leq \mu^*(\mathbf{M})$

Pokud platí $\mu^*(\mathbf{M})=\mu_*(\mathbf{M})$ , pak množinu $\mathbf{M}$ označíme jako měřitelnou v Lebesgueově smyslu nebo zkráceně (lebesgueovsky) měřitelnou. Společnou hodnotu této míry pak nazýváme (Lebesgueovou) mírou, tzn.

$\mu(\mathbf{M}) = \mu^*(\mathbf{M}) = \mu_*(\mathbf{M})$

Míra spočetné množiny, tedy i množiny obsahující konečný počet prvků, je nulová. Nespočetné množiny mohou mít nenulovou míru, existují však i nespočetné množiny s mírou nula. Kromě množin, na nichž lze definovat míru, které označujeme jako měřitelné, existují také množiny, na nichž míru nelze definovat. Tyto množiny nazýváme jako neměřitelné.

[editovat] Měřitelná funkce

Funkci $f (x)$ , která je definovaná na (omezené) měřitelné množině $\mathbf{M}$ označíme jako (lebesgueovsky) měřitelnou, pokud je množina všech bodů $x \in \mathbf{M}$ splňujících $f (x) < C$ měřitelná při libovolné volbě čísla C.