Spočetná množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Spočetná množina je množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na některou podmnožinu množiny přirozených čísel, tedy že existuje bijekce $f: A \to \mathbb N$ .

Obsah

1 Úvodní přiblížení
2 Příklad - celá čísla jsou spočetná
3 Spočetné a nespočetné nekonečné množiny
4 Lze dokázat
5 Příklady spočetných množin
6 Související články

[editovat] Úvodní přiblížení

Pojem spočetná množina znamená zjednodušeně řečeno „množina, jejíž prvky lze spočítat“. Spočítáním se zde rozumí očíslování prvků množiny přirozenými čísly - přitom je jedno, zda použiji konečný nebo nekonečný počet přirozených čísel.

Spočetné množiny lze dále rozdělit na konečné a nekonečné podle toho, zda v očíslování, které jsem na množinu použil, existuje nebo neexistuje nejvyšší přirozené číslo. Zajímavější je samozřejmě druhý případ - nekonečné spočetné množiny

[editovat] Příklad - celá čísla jsou spočetná

I když by se na první pohled zdálo, že celých čísel je víc, než přirozených (dalo by se říci dvakrát víc), z pohledu spočetnosti je opak pravdou. Celá čísla lze snadno očíslovat přirozenými čísly a to takto:

Celá čísla si seřadím vzestupně podle absolutní hodnoty, pokud mají některá dvě stejnou absolutní hodnotu, dostane přednost menší z nich. Dostanu tak řadu 0,-1,1,-2,2,-3,3,… Tuto řadu pak snadno očísluji přirozenými čísly: k 0 přiřadím 0, k -1 přiřadím 1, k 1 přiřadím 2, k -2 přiřadím 3, k 2 přiřadím 4 atd. atd. Je snad dost jasně vidět, že se mi takto podaří očíslovat všechna celá čísla, takže jejich množina je spočetná.

Další příklad důkazu spočetnosti nekonečné množiny se nachází v článku Nespočetná množina.

[editovat] Spočetné a nespočetné nekonečné množiny

Nabízi se samozřejmě otázka, zda vůbec existují jiné než spočetné množiny. V běžně používaných modelech teorie množin, například Zermelo-Fraenkelově teorii množin je odpověď kladná - existují nespočetné množiny - například množina reálných čísel (viz článek Cantorova diagonální metoda) nebo množina všech podmnožin množiny přirozených čísel.

Z Cantorovy věty dokonce vyplývá, že ke každé (tedy i nespočetné) množině existuje množina s větší mohutností - tedy ještě mnohem „nespočetnější“, než původní množina. V tomto smyslu jsou spočetné množiny pouze vstupní branou do světa mnohem větších (ve smyslu „mnohem nekonečnějších“) nespočetných oblud.