可數集
维基百科,自由的百科全书
可数集,或称可列集、可数无穷集合,是可以與正整数集合{1,2,3,......}建立一一对应的无穷集合。就是说,存在双射函数,可以将一个集合的所有元素一一对应的映射到正整數集,故而可以将集合S 的元素排队,从第一个数起,每个都可以数到。当然,永远也数不完。
可數集的定義有時不同。它有時指:可以與可数无穷集的某些子集一一對應的集。
由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的,因為我們可以將所有的 n 都對應到 2n,如此就完成了一一對應。類似地,不難證明所有整數構成的集合 Z、所有有理數構成的集合 Q、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。
並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合 R 是不可列的,即 R 與 N 之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數,因為剛才已經說過代數數是可列的;於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明。
|
|
---|---|
拓扑空间 | 同胚 · 子空間 · 積空間 · 商空間 · 序空間 |
/ | 邻域 · 內部 · 邊界 · 外部 · 極限點 · 孤点 |
/ | 基 · 鄰域系統 · 开集 · 闭集 · 闭包 |
/ | 连通空间 · 道路连通空间 · 不可約空間 |
紧集 | 可数紧 · 序列紧 · 聚点紧 · 局部紧 |
可数集 | 第一可數 · 第二可數 · 可分性 · 林德勒夫空間 |
理論 | 吉洪诺夫定理 · Urysohn引理 · 度量化定理 |