Doplněk množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se pojmy doplněk množiny A nebo komplement množiny A označuje množina A^C všech prvků, které v nějaké jiné (předem dané) množině nejsou obsaženy. Aby bylo možné doplněk definovat, je třeba znát množinu, vzhledem ke které se doplněk počítá.

Místo A^c se někdy užívá značení A' nebo − A.

[editovat] Formální definice

Máme-li množinu U a její podmnožinu A, definujeme doplněk množiny A vzhledem k množině U jako . Tedy A^C obsahuje všechny prvky, které jsou v U, ale nejsou v A.

Pokud máme pevně danou univerzální množinu U, můžeme zkráceně hovořit jen o "doplňku A".

[editovat] Příklady

Pokud U = {a,b,c} je univerzální množina a A = {b}, je A^C = {a,c}

Pokud za univerzální množinu vezmeme množinu všech přirozených čísel bez nuly, doplňkem všech lichých čísel je množina všech sudých čísel. Doplňkem množiny {1,2} je pak množina všech přirozených čísel větších než 2.

Pokud jsou univerzální množinou reálná čísla, je doplňkem všech algebraických čísel množina všech transcendentních čísel.

[editovat] Vlastnosti

Následující pravidla uvádí nekolik základních vlastností doplňku množiny. Mějme univerzální množinu U a její podmnožiny A, B

• A ∪ A^C  =  U
• A ∩ A^C  =  Ø
• Ø^C  =  U
• U^C  =  Ø
• Pokud A⊆B, pak B^C⊆A^C
• A^CC  =  A.

De Morganova pravidla:

• (A ∪ B)^C  = A^C ∩ B^C
• (A ∩ B)^C  = A^C ∪ B^C