Ensemble complementari

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.

Se lo rectangle representa l'ensemble referenciau E, la partida blava es lo complementari de la blanca.

En teoria deis ensembles, estent un ensemble E dich ensemble referenciau, lo complementari d'una partida A de E es la partida de E definida coma l'ensemble de totei leis elements de E qu'apartènon pas a A. Es l'ensemble :

$\ E \setminus A = \{x \mid (x \in E) \wedge (x \notin A)\}$ :

Es tanben sonat : complementari de A a respècte de E.

[Modificar] Notacions

Lo complementari de A es sovent notat :

$\overline A$ o $\ A^c$ o encara $\complement A$ .

Per defugir tota ambigüitat, en cas de necessitat, s'explicita l'ensemble referenciau E, e lo complementari de A a respècte de E es notat :

$\complement_E A$ .

[Modificar] Exemples

L'ensemble A deis entiers naturaus pars es una partida de l'ensemble $\ E = \mathbb{N}$ deis entiers naturaus. Lo complementari de A a respècte de $\ \mathbb{N}$ es l'ensemble deis entiers naturaus impars.

L'ensemble $A = \mathbb{Q}$ dei nombres racionaus es una partida de l'ensemble $E = \mathbb{R}$ dei nombres reaus. Lo complementari de A a respècte de $\ \mathbb{R}$ es l'ensemble dei nombres irracionaus.

En Calcul dei probabilitats, estent un espaci de probabilitat $(\Omega,\, \mathcal{A},\, P)$ , lo complementari $\overline A = \Omega \setminus A$ d'un eveniment A a respècte de l'ensemble univèrs $\ \Omega$ es un eveniment, sonat eveniment contrari de A.

[Modificar] Proprietats essencialas

Lo complementari de $A\cup B$ es en gris.

L'ensemble referenciau es notat E ; A e B son de partidas de E.

$\overline E = \varnothing$

$\overline{\varnothing} = E$

Un element de E pòt pas èsser au còp dins A e dins son complementari :

$A\cap \overline A = \varnothing$ (autrament dich : $A\text{ e }\overline{A}$ son desjonchs)

Tot element de E es siá dins A siá dins lo complementari de A :

$A\cup \overline A = E$

Se A es diferent de l'ensemble vuege e de E, alora l'ensemble $\ \{A,\, \overline A\,\}$ es una particion de E.

Lo complementari dau complementari d'una partida A es A :

$\overline{\overline{A}} = A$

Diferéncia ensemblista :

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

Lèis de De Morgan :

Lo complementari de l'union de doas partidas de A es l'interseccion de sei complementaris :

$\overline{A\cup B} = \overline A \cap \overline B$ .

Lo complementari de l'interseccion de doas partidas de A es l'union de sei complementaris :

$\overline{A\cap B} = \overline A \cup \overline B$ .

Pus generalament, estent una familha $(A_i)_{\,i\, \in\, I}$ de partidas de E :

$\overline{\bigcup_{\,i\, \in\, I} A_i} = \bigcap_{\,i\, \in\, I} \overline{A_i} \text{ e } \overline{\bigcap_{\,i\, \in\, I} A_i} = \bigcup_{\,i\, \in\, I} \overline{A_i}$