Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.
Содержание |
[править] Формулировка
Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть и Пусть
— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции f соответственно. Тогда и существуют такие, что
[править] Доказательство для R
Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), . Возьмём последовательность чисел am таких, что и am < M. Для каждого m найдётся точка xm, такая что am < f(xm). Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Теорема Больцано — Вейерштрасса из последовательности xm можно выделить сходящуюся последовательность , предел которой лежит в A.
Для любого xm справедливо , поэтому, применяя предельный переход, получаем и в силу непрерывности функции существует точка x0 такая, что и, следовательно M = f(x0).
Таким образом функция f(x) ограничена и достигает своей верхней грани при x = x0. Аналогично и для нижней грани.
[править] Замечания
- По определению точки xm и xM являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.
- В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс
непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.
[править] Обобщения
[править] Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций
- Пусть функция полунепрерывна сверху. Тогда
- и
- Пусть функция полунепрерывна снизу. Тогда
- и
[править] Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте
Пусть дано топологическое пространство и компактное подмножество Пусть дана непрерывная функция Тогда
и