Функция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. функция.

Отображе́нием или фу́нкцией (лат. functio — исполнение, осуществление) называется распределительный закон, в соответствии с которым каждому значению x из множества D ставится в соответствие одно,и только одно значение y из множества E .

Содержание

1 Неформальное определение
2 Формальное определение
3 Способы задания
4 Связанные определения
5 Свойства
- 5.1 Свойства прообразов и образов
6 Исторический очерк
7 Примечания
8 См. также
9 Литература
10 Внешние ссылки

[править] Неформальное определение

Определение. Пусть $X$ и $Y$ — два множества. Закон $F$ , согласно которому каждому элементу $x \in X$ поставлен в соответствие единственный элемент $y \in Y$ , называется отображением множества $X$ в множество $Y$ или функцией, заданной на $X$ со значениями в $Y$ .

Отображения обозначают так:

$F:\ X \to Y$ или $X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y$ для отображения $F$ , множества $X$ в множество $Y$ .
$y = F (x)$ или $F:x \mapsto y$ или $x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y$ .

При этом:

Множество $X$ тогда называется о́бластью определе́ния отображения $F$ (обозначается D(f) или D(y).).
Множество $Y$ — о́бластью значе́ний отображения $F$ .(обозначается E(f) или E(y).
Элемент $x$ называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
Элемент $y = F (x)$ — значе́нием или зави́симой переме́нной.

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств $X$ и $Y$ . Если $X$ и $Y$ — числовые множества, такие, как $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ , то отображение называют функцией. Если $X$ или $Y$ многомерны, например, $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$ , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если $X$ — произвольной природы, а $Y$ — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

[править] Формальное определение

То, что приведено выше, не может считаться формальным математическим определением, по сути в нём понятие «функция» подменено словом «закон». Некоторые авторы считают функцию основным понятием, то есть в определении не нуждающимся, но чаще всего формальные определения функции строится на основе теории множеств:

Пусть даны множества $X$ и $Y$ , тогда множество всех упорядоченных пар $f=\left\{(x,y)\right\}$ называется функцией одного аргумента тогда и только тогда, когда для любых $(x',y')\in f$ и $(x'',y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x' \neq x''$ .

Фактически это означает, что изменение значения функции может произойти только вследствие изменения её аргумента.

Это же определение легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества $X_{1},X_{2},\ldots,X_n$ и множество $Y$ , тогда упорядоченное множество всех кортежей $f=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},y)\right\}$ называется функцией $n$ аргументов тогда и только тогда, когда для любых $(x_{1}',x_{2}',\ldots,x_{n}',y')\in f$ и $(x_{1}'',x_{2}'',\ldots,x_{n}'',y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x_{n}' \neq x_{n}',\forall x\in [1,n]\cap\mathbb{Z}$ ^[1].

[править] Способы задания

Словесный

С помощью естественного языка

Игрек равно целая часть от х.

Аналитический

С помощью аналитической формулы

f (x) = x!

Графический

С помощью графика

Фрагмент графика функции $y=\operatorname{arctg}x$ .

Табличный

С помощью таблицы значений

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

[править] Связанные определения

Пусть дано отображение , и . Тогда суже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством

$\left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M$ .
- NB! Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

Пусть . Тогда о́бразом множества M называется подмножество Y, определяемое равенством

$F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \}$ .
- Множество $F (X)$ называется образом отображения $F$ .

Пусть задано отображение , и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
- Например, пусть дана функция $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , где $F (x) = x 2$ . Тогда
  
  $y = - 1$ не имеет прообразов;
  
  $y = 0$ имеет единственный прообраз $x = 0$ ;
  
  $y = 1$ имеет два прообраза: $x 1 = 1$ и $x 2 = - 1$ .

Пусть задано отображение , и . Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F ^{- 1}(y).
- Например, пусть $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , и $F (x) = sin x$ . Тогда
  
  $F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

Пусть . Тогда проо́бразом множества N называется подмножество X, определяемое равенством

$F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \}$ .
- Например, пусть $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , и $F (x) = cos x$ . Тогда
  
  $F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1]$ ,
  
  $F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right]$ .

Фрагмент графика функции

f (x) = x 3 - 9 x

Пусть дано отображение . Тогда его гра́фиком Γ называется множество
,
где обозначает декартово произведение множеств X и Y.
- График непрерывной функции $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ является кривой на двумерной плоскости.
- Графиком непрерывной функции $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ является поверхность в трёхмерном пространстве.

[править] Свойства

[править] Свойства прообразов и образов

$F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y$ ;
$F^{-1}(A \cap B) = F^{-1}(A) \cap F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y$ ;
$F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\; \forall A,B \subset X$ ;
$F(A \cap B) \subset F(A) \cap F(B), \; \forall A,B \subset X$ . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

[править] Исторический очерк

Математическое моделирование явлений и законов природы приводит к возникновению понятия функции, которое поначалу ограничивается алгебраическими функциями (многочленами) и тригонометрией.

Как и остальные понятия математики, общее понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. Ещё в XVII веке Непер, вводя в обиход логарифмическую функцию, использовал обходной путь — определил её кинематически. Декарт рассматривал неалгебраические зависимости только в виде редчайшего исключения.

Однако в работе Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубликована в 1679 году) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию).

У Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции.

В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у Ньютона. Сам термин «функция» впервые появляется в 1692 году у Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании. Лейбниц вначале называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). Позже, однако, в переписке с Иоганном Бернулли (1694) содержание термина расширяется и в конце концов становится синонимом «аналитически заданной зависимости».

В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

В начале XVIII века были получены разложения всех стандартных функций и многих других. Благодаря, в основном, Эйлеру (1748) были уточнены их определения. Эйлер впервые ясно определил показательную функцию, а также логарифмическую как обратную к ней, и дал их разложения в ряд. До Эйлера многие математики считали, например, тангенс тупого угла положительным; Эйлер дал современные определения всех тригонометрических функций (сам термин «тригонометрическая функция» предложил Клюгель в 1770 году).

В приложениях анализа появляется множество новых трансцендентных функций. Когда Гольдбах и Бернулли попытались найти непрерывный аналог факториала, молодой Эйлер сообщил в письме Гольдбаху о свойствах гамма-функции (1729, название принадлежит Лежандру). Через год Эйлер открыл бета-функцию, и далее неоднократно возвращался к этой теме. Гамма-функция и связанные с ней (бета, дзета, цилиндрические (Бесселя)) находят многочисленные применения в анализе, а также в теории чисел, а дзета-функция оказалась незаменимым инструментом для изучения распределения простых чисел в натуральном ряду. В 1757 году Винченцо Риккати, исследуя секторы гиперболы, вводит гиперболические функции ch, sh (именно с такими обозначениями) и перечисляет их основные свойства. Немало новых функций возникло в связи с неинтегрируемостью различных выражений. Эйлер определил (1768) интегральный логарифм (название предложил И.Зольднер, 1809), Л. Маскерони — интегральные синус и косинус (1790). Вскоре появляется и новый раздел математики: специальные функции.

С этим пёстрым собранием надо было что-то делать, и математики приняло радикальное решение: все функции, независимо от их происхождения, были объявлены равноправными. Единственное требование, предъявляемое к функции — определённость, причём имеется в виду не однозначность самой функции (она может быть и многозначной), а недвусмысленность способа вычисления её значений.

Первое общее определение функции встречается у Иоганна Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Бернулли (1753). В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»).

Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд).

Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении. Позже, при исследовании функций многих переменных он понял ограниченность прежнего определения и признал разрывные функции, а затем, после исследования комплексного логарифма — даже многозначные функции.

Под влиянием теории бесконечных рядов, которые давали алгебраическое представление почти любой гладкой зависимости, наличие явной формулы постепенно перестало быть обязательным для функции. Логарифм или показательная функция, например, вычисляются как пределы бесконечных рядов; такой подход распространился и на другие нестандартные функции. С рядами обращаются как с конечными выражениями, первоначально никак не обосновывая корректность операций и даже не гарантируя сходимость ряда.

Начиная с «Дифференциального исчисления» (1755), Эйлер фактически принимает современное определение функции как произвольного числового соответствия:

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых.

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797—1802) Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних».

В «Аналитической теории тепла» Фурье (1822) имеется фраза: «Функция $f x$ обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям $x$ , содержащимся между $0$ и какой-либо величиной $x$ ».

Близко к современному и определение Лобачевского:

…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от $x$ называть число, которое даётся для каждого $x$ и вместе с $x$ постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе.

Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. Вот определение Дирихле (1837):

у есть функция переменной х (на отрезке $a \leqslant x \leqslant b$ ), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определённое значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами.

[править] Примечания

↑ Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1. М.: Высшая школа,1981. с. 8.

[править] См. также

Различные классы функций:

[править] Литература

История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

[править] Внешние ссылки

On-line программа для построения графиков (flash)

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.