Funzjonijiet (Matematika)

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija ħielsa.

Fil-matematika, funzjoni $f$ minn $X$ għal $Y$ hi magħmula minn:

1) sett $X$ imsejjaħ id-dominju ta’ $f$

2) sett $Y$ imsejjaħ il-kodominju ta’ $f$

3) liġi li ma’ kull element $x$ f’ $X$ tassoċja element wieħed u wieħed biss $f (x)$ f’ $Y$ .

$x$ jissejjaħ l-argument tal-funzjoni, jew inkella il-varjabbli indipendenti, waqt li $f (x)$ huwa l-valur tal-funzjoni, jew inkella l-varjabbli dipendenti.

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma’ "funzjoni":
"applikazzjoni", "operatur", "mappa", "relazzjoni binarja univoka", "trasformazzjoni".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

Werrej

1 Eżempji
2 Definizzjoni
- 2.1 Definizzjoni alternattiva
3 Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet
4 Notazzjonijiet għall-funzjonijiet
5 Tipoloġija

[editja] Eżempji

L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Per eżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. Per eżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, per eżempju, funzjoni li l-koordinati $x, y, z$ ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura $T$ u l-pressjoni $P$ ta’ l-arja. F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna $(x, y, z)$ , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja $(T, P)$ .

[editja] Definizzjoni

Mogħtija s-settijiet $X$ u $Y$ , sottosett $f$ tal-prodott Karteżjan $X \times Y$ insejħulu funzjoni minn $X$ għal $Y$ , jekk għal kull $x \in X\;$ , jeżisti element wieħed u wieħed biss $y \in Y\;$ tali $(x, y) \in f$ . Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’ $f (x)$ : fi kliem ieħor, minflok niktbu $(x, y) \in f$ nistgħu nużaw il-kitba tradizzjonali $\,y=f(x)\;$ .

Il-fatt li $f$ hija funzjoni minn $X$ għal $Y$ li tassoċja ma’ $x$ l-element $f (x)$ nistgħu nuruh billi niktbu:

$\begin{matrix} f: & X & \rightarrow & Y \\ & x & \mapsto & f(x) \end{matrix}$

Is-sett $X$ (li minnu l-funzjoni $f$ "tieħu" il-valuri) hu id-dominju tal-funzjoni $f$ , waqt li s-sett $Y$ (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni $f$ ) hu l-kodomiju tal-funzjoni $f$ .

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, tittrasformah fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu trasformazzjoni.

Is-sett

$\{y \in Y | \exists x \in X | y=f(x)\},$

mogħti mill-elementi $y$ tal-kodominju li għalihom jeżisti $x$ fid-dominju li tittrasfoma f’ $y$ ngħidulu l-immaġini ta’ $f$ u niddenotawh b’ Im $(f)$ jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b' $f (X)$ .

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, per eżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini.

[editja] Definizzjoni alternattiva

Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża:

Funzjoni hija terna ordnata

(A, B, f)

, fejn

A

hu sett,

B

hu sett ieħor, u $f\subseteq A\times B \$ hu tali $\forall a\in A\;\ \exists \text{!}b\in B\ |\ (a,b)\in f$

[editja] Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet

Jekk ikollna żewġ funzjonijiet $f$ : $X$ → $Y$ u $g$ : $Y$ → $Z$ nistgħu niddefinixxu l-kompożizzjoni tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’ $f$ fuq $x$ u mbagħad l-applikazzjoni ta’ $g$ fuq ir-riżultat $f (x)$ .

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’ $g\circ f$ . Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

$\,(g\circ f)(x) = g[f(x)]\,$

[editja] Notazzjonijiet għall-funzjonijiet

Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni $F$ li jikkorrispondi ma’ element $x$ , iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’ $F (x)$ :

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni prefissa niktbu:

$\, Fx := F(x)\,$ .

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni suffissa niktbu:

$\, xF := F(x)\,$ .

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet $F$ u $G$ jistgħu jinkitbu f’4 modi:

$\, (F\circ G)x = G(Fx) \,$ ,

$\, (F\circ G)x = F(Gx) \,$ ,

$\, x(F\circ G) = (xF)G \,$ ,

$\, x(F\circ G) = (xG)F \,$ .

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:

$\, F[x]=F(x)\,$ .

B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

[editja] Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjed

Meta d-dominju ta’ funzjoni $f$ ikun il-prodott karteżjan ta’ żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja $(x, y)$ nuruha bin-notazzjoni

f (x, y)

allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu $f ((x, y))$ . F’dal-kaz il-funzjoni $f$ tissejjaħ funzjoni ta’ żewġ varjabbli.

Per eżempju, il-funzjoni ta’ multiplikazzjoni tassoċja żewġ numeri naturali mal-prodott tagħhom: $f (x, y)$ = $x$ · $y$ . Din il-funzjoni nistgħu niddefinixxuha formalment bid-dominju $\mathbb N\times \mathbb N$ , is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

[editja] Funzjonijiet ta’ iżjed valuri

Jekk il-kodominju ta’ funzjoni $f$ hu l-prodott karteżjan ta’ żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha funzjoni vettorjali.

Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, per eżempju:

$(x,y) \to (y,x)$ .

Funzjoni ngħidulha polidroma fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: per eżempju, ir-radiċi kwadrata ta’ numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni

$\mathbb R_+ \to \mathbb P(\R)$

li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi.

[editja] Operazzjonijiet binarji

Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan $\mathbb Z\times \mathbb Z$ għal $\mathbb Z$ , u niddiskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu $x + y$ (u mhux $+ (x, y)$ ) biex niddiskrivu l-immagini tal-koppja $(x, y)$ bl-operazzjoni $+$ .

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal per eżempju dik ta’ grupp, bħala sett $X$ mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

[editja] Tipoloġija

Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

[editja] Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijiet

funzjoni injettiva
funzjoni surjettiva
funzjoni bijettiva
endofunzjoni
permutazzjoni
involuzzjoni

[editja] Klassificazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominju

funzjoni numerika
funzjoni diskreta
suċċessjoni
funzjoni ta’ varjabbli reali
funzjoni ta’ varjabbli komplessa
morfiżmu
funzjoni ta’ sett
funzjoni indikatriċi

[editja] Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbilià

funzjoni rikorsiva primittiva
funzjoni kalkulabbli
funzjoni rikorsiva
funzjoni rikorsiva totali
funzjoni enumerattiva

[editja] Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmali

funzjoni armonika
funzjoni kontinwa
funzjoni pari u funzjoni dispari
funzjoni tiżdied, funzjoni tonqos u funzjoni monotona
funzjoni polinomjali
funzjoni razzjonali fratta
funzjoni traxendenti
funzjoni differenzjabbli
funzjoni lixxa
funzjoni analitika
funzjoni olomorfa
funzjoni antjolomorfa
funzjoni meromorfa
funzjoni konvessa
funzjoni integrali
funzjoni ċilindrika

[editja] Xi funzjonijiet magħrufa

funzjoni Beta, funzjoni Gamma
funzjonijiet trigonometriċi: senu, kosenu, tanġent, kotanġent
funzjoni identità

[editja] Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistiku

Funzjoni ta’ ripartizzjoni
Funzjoni ta’ probabbiltà
Funzjoni ta’ densità
Funzjoni ġeneratriċi tal-momenti
Funzjoni karatteristika

Portal tal-Matematika

Category: Matematika

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.