Логарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Логарифм числа a по основанию b равен показателю степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a (если $\log_b~a = x$ , то $~b^x=a$ , где b>0 и b≠1, a>0). Широкое применение нашли логарифмы по основаниям e (число Эйлера) — натуральные логарифмы ( $\ln~a$ ) и по основанию 10 — десятичные логарифмы ( $\lg~a$ ), а также двоичные логарифмы ( $\log_2~a$ , $\mathop{\mathrm{lb}}~a$ ), которые применяются в теории информации и информатике.

[править] Основные свойства

$\log_a \left (bd \right) = \log_a b + \log_a d$
$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
${\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}$
$\log_a \sqrt[r] {b} = \frac{1}{r} \log_a b$
$\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}$
$\log_a b=\log_{a^k} b^k$
$\ln (-1)=\operatorname{i}\pi, \operatorname{i}=\sqrt {-1}$

Т. к. $\ln (-1)=\operatorname{i}\pi$ и $\ln (-a)=\ln |a|+\ln (-1)=\ln a+\operatorname{i}\pi, a>0$ , то $\log_a (-b)=\frac {\ln (-b)} {\ln a}=\frac {\operatorname{i}\pi+\ln |b|} {\ln a}, b>0$

Основное логарифмическое тождество:

$a^{\log_a b} = b$

[править] Натуральный логарифм

При $-1 < x \le 1$ справедливо равенство

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +$ …

(1)

В частности,

$\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +$ …

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится, и значение $x$ ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+...\right)$

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа $z .$

Для производной натурального логарифма справедлива формула

$(\ln t )' = \frac{1}{t}$

[править] Десятичные логарифмы

Логарифмы по основанию 10 (обозначение lg a) ранее широко применялись для вычислений. Это связано с тем, что если

а = b · 10ⁿ

то

lg a = lg b + n

Поэтому, если составить таблицы логарифмов для чисел от 1 до 10, то с их помощью можно найти логарифм любого числа, предварительно приведя его к стандартному виду (что легко делается вручную).

И наоборот, с помощью тех же таблиц можно возвести 10 в любую степень (т. е. найти число по его десятичному логарифму), используя тождество

10^x = 10^{x} · 10^[x]

где {x} — дробная часть x, а [x] — целая часть x.

Шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.