Función logaritmo

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En matemáticas, o logaritmo de x con base b, é o expoñente ou potencia á que a base tense que elevar para dar un número dado.

Para a ecuación bⁿ = x, o logaritmo é a función que obtén n. Esta función é escrita como n = log_b x. O logaritmo dice cántas veces un número x debe ser dividido pola base b para obter 1, e por iso é considerado unha función inversa da expoñenciación.

[editar] Logaritmo neperiano

En cálculo chámase logaritmo natural ou logaritmo neperiano á primitiva da función inversa definida como:
$f(x) = \frac {1}{x} \,\!$ a cal toma o valor 0 cando a variable x toma o valor 1, é dicir:

$\ln (x)=\int_1^x \frac{dt}{t}$

Tamén se chama así ó logaritmo obtido tomando como base o valor de número irracional "e" (equivalente a 2,718281828...).

Equivalentemente, a función logaritmo natural é a inversa da función expoñencial definida por : $f(x) = e^x \,\!$ .

[editar] Deducción

A derivada da función $f(x) = x^n \,\!$ é $f^\prime(x) = n.x^{n-1} \,\!$ . Ó dividir ambos lados da expresión por "n" e observar o resultado, pódese afirmar que unha primitiva de $x^m \,\!$ é $x^{m+1}.\frac{1}{m+1} \,\!$ (con m = n - 1). Este cálculo obviamente non é válido cando m = - 1, porque non se pode dividir por cero. Polo tanto, a función inversa 1/x é a única función "potencia" que non ten unha primitiva "potencia". Pero esta función é continua sobre o rango ]0; + ∞[ o que implica que ten forzosamente unha primitiva neste intervalo, e tamén sobre ] - ∞ ; 0[.

En resumen: $\ln^\prime (x) = \frac {1}{x} \,\!$ , e $\ln (1) = 0 \,\!$ .
A función $\ln(x) \,\!$ é estrictamente crecente pois a sua derivada é estrictamente positiva, e ten límites infinitos en 0⁺ y en + ∞.

A tanxente T_e que pasa polo punto de abcisa e da curva, pasa tamén pola orixe. A tanxente T₁ que pasa polo punto de abcisa 1 da curva, ten como ecuación: y = x - 1.
A derivada de segundo orde é ln"(x) = -1 / x², sempre negativa, polo tanto a función é cóncava, é dicir que tódalas tanxentes pasan por riba da curva. É o que se constata con T₁ e T_e.

[editar] Características útiles

Os números positivos menores que 1 teñen logaritmo negativo.
Os números positivos maiores que 1 teñen logaritmo positivo.
Os números negativos teñen logaritmo complexo.
Non existen os logaritmos en base negativa.

[editar] Propiedade fundamental

A denominada propiedade fundamental, definida Por:

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \,\!$ (1) (con a>0 e b>0)

foi a que permitiu construir as primeiras taboas de logaritmos, cuyo propósito era facer que calcular un produto fose tan rápido como atopar unha suma. En efecto, para calcular un produto procurábanse na taboa os logaritmos dos factores, sumábanse, e procurábase o número cuxo logaritmo aproximábase máis á expresión ln a + ln b. A hoxe desaparecida regra de cálculo utilizaba o mesmo proceso.

Proba: Sexa f(x) = ln (ax) - ln x. Derivando: f'(x) = a·(1/ax) - 1/x = 1/x - 1/x = 0, o que significa que f é constante no intervalo (0, + ∞). En consecuencia f(b) = f(1), é dicir: ln ab - ln b = ln a -ln 1, ou sexa ln ab = ln a + ln b.

consecuencias:

ln (1/a) = - ln a. (2)

En efecto, ln(a) + ln (1/a) = ln (a· 1/a) = ln 1 = 0.

ln (a/b) = ln a - ln b. (3)

En efecto ln (a/b) = ln (a·1/b) = ln a + ln (1/b) = ln a - ln b.

ln (aⁿ) = n.ln a. (4) , para calquera valor real de n.

Esto demóstrase por inducción para todo número enteiro natural "n", e logo para todo "n" enteiro, con (2), e logo para todo "n" racional, utilizando (3). A continuidade do logaritmo fai que unha relación certa nos racionais é tamén válida nos reales, o que acaba a proba.

Esta última relación permite resolver certas ecuacións coa incógnita no lugar das potencias: a^x = b ten como solución x = lnb/lna cando a ≠ 1, a>0 e b>0.

[editar] Logaritmos noutras bases

A elección de un determinado número como base dos logaritmos non é crucial, debido a que pódense facer conversións dunha base a outra de forma sinxela. Para iso é útil a seguinte fórmula que define o logaritmo de x en base b(supoñendo que b, x, e k son números reais positivos e que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

$\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!$

na que "k" é calquera base válida. Se facemos k=x, obteremos:

$\log_b(x) = \frac {1}{\log_k(b)} \,\!$

Na práctica, emprégase o logaritmo decimal, que se indica como $\log(x)\,\!$ , en ciencias que fan uso das matemáticas, como a química na medida da acidez (denominada pH) e na física en magnitudes como a medida da luminosidade (candela), do son (dB), da enerxía dun terremoto (escala de Richter), etc. En informática úsase o logaritmo en base 2.

[editar] Historia

Joost Bürgi, un matemático e reloxeiro suízo ó servizo do Duque de Hesse-Kassel, concibiu por vez primeira os logaritmos. O método de logaritmos naturais foi proposto inicialmente en 1614, nun libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, por John Napier (latinizado Neperus), Barón de Merchiston na Escocia, que naceu cerca de 1550, e morreu en 1618, catro años despois da publicación da sua memorable invención. Este método contribuíu ó avance da ciencia, e especialmente da astronomía, facilitando a realización de cálculos difíciles. Antes do advir das calculadoras e computadoras, era constantemente usado en estatística, navegación, e outras ramas das matemáticas prácticas. Ademais da súa utilidade no cómputo, os logaritmos tamén encheron un importante lugar nas matemáticas avanzadas maiores.