Logaritms

Vikipēdijas raksts

Logaritma funkcijas ar dažādām bāzēm. Sarkanās funkcijas logaritms ir ar bāzi e (ln). Zaļās funkcijas logaritms ir ar bāzi 10 (lg) un purpurkrāsas funkcija ir logaritms ar bāzi 1,7.

Logaritms ir matemātiska operācija, kas ir pretēja kāpināšanai. Skaitļa $x$ logaritms pie bāzes $b$ ir tāds skaitlis $n$ , ka bⁿ = x un to parasti pieraksta šādi:

$\!\, \log_b x = n$

Piemēram,

$\log_3 81 = 4 \$

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 .... \,\!$

Skaitļus b (logaritma bāze) un x (skaitlis), var ņemt kā veselus, tā daļskaitļus, bet tiem ir jābūt pozitīviem, lai logaritmi būtu reāli skaitļi (nevis imagināri). Paši logaritmi var būt gan pozitīvi (ja skaitļi ir lielāki par 1, vai negatīvi (ja skaitļi ir starp 0 un 1). Ja par logaritmu bāzēm ņem skaitļus, kas ir lielāki par 1, tad lielākajam skaitlim ir arī lielākais logaritms.

Satura rādītājs

1 Bāzes
- 1.1 Citi apzīmējumi
- 1.2 Bāzu maiņa
2 Logaritmu izmantošana
- 2.1 Zinātnē un inženierijā
- 2.2 Vieglāki logaritmu aprēķini
3 Īpašības

[izmainīt šo sadaļu] Bāzes

Visizplatītākās logaritma bāzes ir 10, 2 un matemātiskā konstane e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352.

naturālais logaritms (log_e), logaritms kuru visplašāk izmanto matemātiskajā analīzē.
decimālais logaritms (log₁₀), logaritms kuru visplašāk izmanto inženierzinātnes nozarēs.
binārais logaritms (log₂), logaritms kuru visplašāk lieto informācijas teorijā un apzīmējot mūzikas intervālus (mūzikas teorija).
logaritms, kura bāze ir lielāka par 0 (b > 0)

[izmainīt šo sadaļu] Citi apzīmējumi

Bieži naturālais logoritms log_e(x) ir apzīmēts ar "ln" - ln(x). Līdzīgi ir arī ar decimālo logaritmu log₁₀(x), bieži tas tiek apzīmēts ar "lg" - lg(x).

Dažādās matemātiskajās iercīcēs logaritmi ir apzīmēti dažādi, bet tomēr ļoti līdzīgi.

Daudzās programmšanas valodās, piemēram, C++, Java, Fortran un BASIC logaritms ir apzīmēts ar "LOG" vai "log" un tas attiecās uz naturālo logaritmu (log_e).
Lielākoties uz kalkulatoriem logaritms, kas ir apzīmēts ar "LOG" attiecās uz decimālo logaritmu (log₁₀) un logaritms, kas ir apzīmēts ar "LN" attiecās uz naturālo logaritmu (log_e).

[izmainīt šo sadaļu] Bāzu maiņa

Ļoti svarīga logaritmu īpašība ir tā, ka logaritmu ar bāzi b var atrast to izsakot par logaritmu dalījumu ar citu bāzi k:

$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}$

Lielākoties tas ir svarīgi un ērti matemātiskajām ierīcēm (tajā skaitā kalkulatoriem), jo tajos visizplatītākie logaritmi ir ar bāzēm e (ln) un 10 (lg). Tas nozīmēt to, ka $\!\, \log_3(5)$ var izteikt par $\log_3(5) = \frac{\ln(5)}{\ln(3)}$ .

[izmainīt šo sadaļu] Logaritmu izmantošana

Logaritmu izmantošana ir lietderīga tajos uzdevumos, vienādojumos, kur pakāpe ir nezināma. Logaritmi ir viegli atvasināmi, tādēļ tos daudz lieto integrāļu risināšanā. Logaritms ir viena no trim svarīgākajām darbībām. bⁿ = x vienādojumā b var izteikt ar sakni, n ar logaritmu un x ar pakāpi.

$\!\, b = \sqrt[n]{x}$

$\!\, n = \log_b x$

$\!\, x = b^n$

[izmainīt šo sadaļu] Zinātnē un inženierijā

Ķīmijā visplāšāk tiek lietots negatīvs decimālais logaritms, kas raksturo ūdeņraža jonu koncentrāciju (pH). Ūdeņraža jonu koncentrācija neitrālā ūdenī 25 °C ir 10^-7 (-log₁₀10^-7), tādējādi pH ir 7.
Mērot zemestrīču intensitāti ar Rihtera skalu tiek izmantoti decimālie logaritmi.

[izmainīt šo sadaļu] Vieglāki logaritmu aprēķini

Zinot to, ka logaritma rezultāts ir pakāpe, mēs varam koncentrēties uz pakāpju īpašībām, t. i., ja bāzes ir vienādas, tad noteiktas darbības var darīt šādi:

Darbības ar skaitļiem	Darbības ar pakāpēm	Darbības ar logaritmiem
$\!\, a b$	$\!\, A + B$	$\!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)$
$\!\, a / b$	$\!\, A - B$	$\!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b)$
$\!\, a ^ b$	$\!\, A b$	$\!\, \log(a ^ b) = b \log(a)$
$\!\, \sqrt[b]{a}$	$\!\, A / b$	$\!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}$