Weierstrassin lause
Wikipedia
Weierstrassin lause on matematiikassa lause, jonka mukaan jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon.
Olkoon f: [a, b] → R jatkuva funktio. Weierstrassin lause tarkoittaa sitä, että välillä [a, b] on luvut c ja d siten, että kaikilla välin pisteillä funktion arvo pysyy arvojen f(c) ja f(d) välissä. Matemaattisesti
- .
Weierstrassin lause on merkittävä muun muassa siksi, että sen avulla voidaan todistaa Rollen lause, jota puolestaan käytetään differentiaalilaskennan keskeisimmän lauseen, differentiaalilaskennan väliarvolauseen todistuksessa.
[muokkaa] Todistus
Todistetaan, että jatkuva funktio f: [a, b] → R saa suurimman arvon suljetulla välillä [a, b]. Pienimmän arvon olemassaolon todistus on samankaltainen. Todistetaan ensin, että funktio f on ylhäältä rajoitettu: tämän tuloksen avulla saadaan todistettua itse lause.
Lause: Suljetulla välillä jatkuva funktio f on ylhäältä rajoitettu eli on olemassa M, jolle .
- Todistus: Määritellään joukko X = { x [a, b] | f on ylhäältä rajoitettu välillä [a, x] }. Koska funktio on jatkuva, tulee olla . Olkoon ε > 0. Tällöin funktion raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa sellainen luku δ > 0, että , kun . Joukko X on siten epätyhjä, koska f on nyt ylhäältä rajoitettu ainakin välillä [a, a + δ]. Toisaalta joukko X on rajoitettu, koska väli [a, b] on rajoitettu. On siis olemassa c = supX.
- Todistetaan nyt, että ei voi olla c < b, jolloin on oltava c = b ja saadaan funktio ylhäältä rajoitetuksi koko välillä [a, b]. Tehdään vastaoletus: c < b (c > a eli a < c < b). Koska funktio on jatkuva, tulee olla . Olkoon Ε > 0. Tällöin funktion raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa luku Δ > 0 siten, että , kun . Tämä on kuitenkin ristiriita, koska nyt löytyy luku siten, että eikä voikaan olla c = supX. Vastaoletus on väärä: ei voi olla c < b. Tällöin on oltava c = b eli . Siis f on ylhäältä rajoitettu koko välillä [a, b].
On siis olemassa supremum M = sup . Jos f(c) = M, niin f(c) on etsitty suurin arvo. Toisaalta kaikilla . On siis osoitettava, että ei voi olla f(x) < M kaikilla välin [a, b] pisteillä x.
- Todistus: tehdään vastaoletus f(x) < M kaikilla välin [a, b] pisteillä x.
- Nyt M – f(x) > 0 kaikilla . Tutkitaan funktiota kaikilla , joka on määritelty tällä välillä. Koska f(x) on jatkuva funktio, myös g(x) on jatkuva. Käytetyn lauseen (Lause) nojalla myös funktion g(x) tulisi olla ylhäältä rajoitettu välillä [a, b]. Olkoon K = sup (K > 0). Tällöin siis kaikilla . Siis kaikilla . Tämä on kuitenkin ristiriita, koska M on joukon pienin yläraja: lukua M pienempi luku ei voi olla joukon yläraja. Siis g(x) ei voi olla ylhäältä rajoitettu, mikä on ristiriidassa käytetyn lauseen (Lause) kanssa. Vastaoletus on väärä.
Ei siis voi olla f(x) < M kaikilla välin [a, b] pisteillä x. Koska kuitenkin kaikilla , on olemassa jokin piste c, jossa f(c) = M eli jossa funktio f saa suurimman arvon. □
[muokkaa] Aiheesta muualla
- Extreme value theorem (cut-the-knot) (englanniksi)