Raja-arvo

Wikipedia

Matematiikassa raja-arvo kuvaa funktion käyttäytymistä, kun sen muuttuja lähestyy tiettyä pistettä tai ääretöntä, tai lukujonon käyttäytymistä, kun sen indeksi lähestyy ääretöntä. Raja-arvoa käytetään matemaattisessa analyysissä määrittämään jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

[muokkaa] Funktion $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ raja-arvo pisteessä $c$

Funktiolla on raja-arvo pisteessä $c$ , mikäli se ei heilahtele pahasti pisteen $c$ lähistöllä. Täsmällisemmin reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla $f$ sanotaan olevan raja-arvo $L$ pisteessä $c$ , jos kaikilla $ε > 0$ on olemassa $δ > 0$ siten, että

| f (x) - L | < ε

aina kun

0 < | x - c | < δ

Formaalisti edellä oleva ehto voidaan kirjoittaa muodossa

$\forall {\epsilon>0} \, \exists {\delta>0} : 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$ ,

Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä merkitään

$\lim_{x \to c}f(x) = L$ (luetaan limes x lähestyy c:tä f x on L)

tai

$f(x) \to L$ , kun $x \to c$ (luetaan f x lähestyy L:ä, kun x lähestyy c:tä)

Esimerkiksi funktion $f (x) = 2 x$ raja-arvo kohdassa $x = 3$ on 6 (f(x)=2x lähestyy lukua 6, kun x lähestyy lukua 3.

Raja-arvon olemassaolo vaatii, että funktion tulee olla määritelty pisteen x ympäristössä, mutta ei välttämättä pisteessä x.

[muokkaa] Epäoleelliset raja-arvot

Raja-arvoa kutsutaan epäoleelliseksi, kun funktion $f (x)$ muuttuja $x$ käy äärettömyyteen $\infty$ (tai $-\infty$ ) tai kun funktion $f (x)$ raja-arvo tietyssä pisteessä $c$ on $\infty$ (tai $-\infty$ ).

[muokkaa] Ääretön raja-arvo

Jos funktio $f$ on määritelty pisteen $c$ ympärillä ja sillä on pisteessä $c$ raja-arvo $\infty$ , merkitään

$\lim_{x \to c}f(x) = \infty$ .

Näin ollen esimerkiksi funktion $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ , jota ei ole määritelty pisteessä $x = 1$ , raja-arvoksi saadaan $\infty$ , kun $x \to 1$ :

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = \infty$ .

[muokkaa] Raja-arvo äärettömyydessä

Jos funktio $f (x)$ on määritelty välillä $(c,\infty)$ , sillä on äärettömyydessä raja-arvo $L$ jos $\forall \epsilon >0 \,\exists x_0\in (c,\infty):|f(x)-L|<\epsilon$ kun $x > x 0$ . Tällöin merkitään

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L.$

Esimerkiksi funktion $f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 10}$ raja-arvo on $1$ , kun $x$ lähestyy (positiivista) äärettömyyttä: Jos nimittäin on annettu $ε > 0$ , niin valitsemalla $x>\frac{10+10\epsilon}{\epsilon}$ saadaan seuraavat yhtäpitävät epäyhtälöt: $x>\frac{10+10\epsilon}{\epsilon}\Leftrightarrow \epsilon x >10+10\epsilon\Leftrightarrow \frac{10}{x-10}<\epsilon\Leftrightarrow \frac{x}{x-10}-\frac{x-10}{x-10}< \epsilon\Leftrightarrow \frac{x}{x-10}-1< \epsilon$ $\Leftrightarrow | \frac{x}{x-10}-1 |< \epsilon,$ joten väite seuraa raja-arvon määritelmästä.

[muokkaa] Toispuoleiset epäoleelliset raja-arvot

Epäoleellinen raja-arvo voidaan laskea myös toispuolisesti. Tällöin funktion $f (x)$ muuttuja $x$ käy kohti pistettä $c$ vain positiivisesta ("oikealta") tai negatiivisesta ("vasemmalta") suunnasta. Merkitään

$\lim_{x \to c+}f(x) = L$ ja $\lim_{x \to c-}f(x) = L$ .

Esimerkiksi funktio $f(x) = \frac{1}{x}$ saa eri raja-arvot riippuen siitä lähestytäänkö pistettä $0$ negatiivisesta vai positiivisesta suunnasta:

$\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = -\infty$ ja $\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty$ .

On huomattava, että funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ raja-arvoa ei voida määritellä ilman toispuolista lähestymistä, eli $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ne \infty$ .

[muokkaa] Lukujonot ja -sarjat

Lukujonon $(x_n\,\!)$ raja-arvo on sellainen luku $L$ , että kaikilla $ε > 0$ on olemassa $n_0\in \mathbb{N}$ siten, että $| x n - L | < ε$ , kun $n > n 0$ . Lukujonon $(x_n)\,\!$ raja-arvo $L$ merkitään

$\lim(x_n) = L$ .

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu.

Esimerkiksi lukujono $(1-0.1^n) = 0,9; 0,99; 0,999..., 1-0,1^n;... \,\!$ suppenee: se lähestyy lukua 1 ja sen raja-arvo merkitään $\lim(1-0.1^n) = 1$ .

Suppeneville lukujonoille $a_n \,\!$ ja $b_n \,\!$ pätevät seuraavat tulokset:

$\lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n$
$\lim(a_n b_n) = \lim a_n \lim b_n$
$\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim a_n}{\lim b_n}$ , jos $\lim b_n \ne 0 \wedge b_n \ne 0 \, \forall n$ .