Sigma-algebra

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In matematica, una σ-algebra (pronunciata sigma-algebra) o tribù su di un insieme $Ω$ , è una famiglia di sottoinsiemi di $Ω$ che abbia delle proprietà di stabilità rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l'operazione di unione numerabile e di passaggio al complementare. La struttura di σ-algebra è particolarmente utile nelle teorie della misura e probabilità, ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che di funzioni. Essa è un caso particolare di algebra di insiemi, e rispetto a quest'ultima è utilizzata molto più ampiamente in Analisi, per via delle numerose proprietà che le misure definite su σ-algebre hanno rispetto alle operazioni di passaggio al limite.

Le σ-algebre che ricorrono più spesso in matematica sono le σ-algebre boreliane, e la σ-algebra di Lebesgue. Anche storicamente queste due classi di σ-algebre hanno motivato lo sviluppo del concetto di σ-algebra, nato a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo col fine di formalizzare la teoria della misura^[1]. Esso infatti precisa l'idea euristica di evento o insieme misurabile. Molte importanti strutture astratte, al centro dei progressi della matematica dell'ultimo secolo, sono definibili mediante σ-algebre ^[2].

Indice

1 Definizione e prime proprietà
2 Strutture definite utilizzando σ-algebre
3 Principali risultati
4 Esempi ed applicazioni
5 Voci correlate
6 Bibliografia
7 Note

[modifica] Definizione e prime proprietà

Sia $Ω$ un insieme non vuoto, e sia $\mathfrak{F}$ una famiglia di sottoinsiemi di $Ω$ (ovverosia, un sottoinsieme dell'insieme delle parti di $Ω$ ). Diremo che $\mathfrak{F}$ è una σ-algebra su $Ω$ se:

L'insieme vuoto $\emptyset$ appartiene ad $\mathfrak{F}$ : $\emptyset \in \mathfrak{F}$ .
Se un insieme $A$ è in $\mathfrak{F}$ , allora il suo complementare è in $\mathfrak{F}$ : $A \in \mathfrak{F} \Rightarrow A^c \in \mathfrak{F}$ .
Se gli elementi $A i$ di una famiglia numerabile di insiemi $\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ sono in $\mathfrak{F}$ , allora la loro unione è in $\mathfrak{F}$ : $A_i \in \mathfrak{F}, \forall i \in \mathbb{N} \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \in \mathfrak{F}$ .

Una σ-algebra è in particolare un'algebra di insiemi, in quanto la terza condizione sopra implica la stabilità per unione finita richiesta nella definizione di struttura di algebra (in questo caso, si richiede infatti la stabilità anche per unioni numerabili, da cui l'identificativo σ, un'abbreviazione per successione). Inoltre:

Una σ-algebra $\mathfrak{F}$ su di un insieme $Ω$ è non vuota, ed essa ha tra i suoi elementi lo stesso insieme $Ω$ .
Una σ-algebra $\mathfrak{F}$ è stabile per intersezione numerabile: se $A_i \in \mathfrak{F}$ , per ogni $i \in \mathbb{N}$ , allora $\bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i \in \mathfrak{F}$ , dal momento che $\bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i= \left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i^c \right)^c$ , che appartiene ad $\mathfrak{F}$ , dalla seconda e terza condizione.

Date due σ-algebre $\mathfrak{F}$ , $\mathfrak{G}$ su di uno stesso insieme $Ω$ , si dice che $\mathfrak{F}$ è meno fine di $\mathfrak{G}$ se $\mathfrak{F}$ è contenuta in $\mathfrak{G}$ , ovvero se ogni sottoinsieme $E \subset \Omega$ appartenente ad $\mathfrak{F}$ appartiene anche a $\mathfrak{G}$ . La relazione essere meno fine di definisce un ordinamento parziale sull'insieme delle σ-algebre su di un dato insieme $Ω$ .

[modifica] Strutture definite utilizzando σ-algebre

La possibilità di costruire delle strutture matematiche più complesse a partire dalla nozione di σ-algebra è il motivo che ha reso tale concetto basilare per la matematica. Tutte le seguenti strutture sono state molto studiate durante il XX secolo, e su ciascuna di esse esiste una letteratura scientifica sterminata.

[modifica] Spazio misurabile

Per approfondire, vedi la voce Spazio misurabile.

Se $Ω$ è un insieme non vuoto, e $\mathfrak{F}$ è una σ-algebra su $Ω$ , la coppia $(\Omega,\mathfrak{F})$ viene detta spazio misurabile^[3], e gli elementi di $\mathfrak{F}$ (ossia i sottoinsiemi di $Ω$ che sono in $\mathfrak{F}$ ) vengono detti insiemi misurabili.

Questa nozione chiarisce il significato di σ-algebra. Supponiamo di voler matematizzare un fenomeno fisico, ad esempio il comportamento delle particelle di aria in una stanza. Possiamo pensare di fissare uno spazio di eventi $Ω$ , i cui punti rappresentino lo stato di tutte le particelle. Siamo interessati a capire quali sottoinsiemi di $Ω$ possiamo effettivamente misurare; in generale molti sottoinsiemi di $Ω$ saranno bizzarri da un punto di vista matematico: anche nel caso in cui $\Omega = \mathbb{R}^n$ , vi saranno dei sottoinsiemi di $Ω$ patologici e non rilevanti fisicamente.

Euristicamente, potremmo dire che un insieme $A \subset \Omega$ di eventi è misurabile se esiste un esperimento che sia in grado di dire se l'attuale stato del sistema sia o meno in $A$ (ad esempio, poiché siamo in grado di misurare la pressione delle particelle nella stanza, l'insieme $A = {Stati con pressione minore di 5}$ è misurabile). Ne seguono alcune semplici osservazioni:

L'insieme vuoto $\emptyset$ è misurabile (poiché nessuno stato del sistema vi appartiene).
Se siamo in grado di dire se lo stato del sistema appartenga o meno all'insieme $A\subset \Omega$ , allora possiamo fare lo stesso per $A c$ (semplicemente cambiando i valori di verità delle affermazioni concernenti l'appartenenza ad $A$ ).
Se siamo in grado di dire se lo stato del sistema appartenga o meno ad $A$ ed a $B$ , possiamo fare lo stesso per $A \cup B$ (lo stato del sistema è in $A \cup B$ se e solo se è almeno in uno degli insiemi $A$ o $B$ ).

Questo ci dice che è ragionevole richiedere che gli insiemi misurabili formino un'algebra di insiemi. Per convenienza matematica, si chiede poi spesso di rafforzare la richiesta 3. rendendola valida per famiglie numerabili di insiemi. Quindi, se pensiamo ad un fenomeno fisico, è naturale matematizzarlo con una struttura di spazio misurabile: in questo contesto le σ-algebre giocano il ruolo di famiglie di insiemi effettivamente misurabili.

Si è spesso discusso se il passaggio da algebra di insiemi a σ-algebra sia legittimo. In effetti, mentre il punto 3. è molto ragionevole per unioni finite, lo è meno per unioni numerabili. Vi sono stati anche matematici celebri, come Bruno de Finetti, che hanno sostenuto l'utilizzo di algebre come strutture base per le nozioni di misurabilità. Per quanto interessante, questo punto di vista non ha tuttavia avuto seguito, a causa delle difficoltà applicative di una teoria che non consenta di maneggiare famiglie di insiemi numerabili (ad esempio, la nozione di integrale che seguirebbe da misure non σ-additive non consentirebbe di provare i teoremi di passaggio al limite sotto l'integrale).

[modifica] Funzioni misurabili

Per approfondire, vedi la voce Funzione misurabile.

Siano $(\Omega_1, \mathfrak{F}_1)$ e $(\Omega_2, \mathfrak{F}_2)$ due spazi misurabili. Una applicazione $f: \Omega_1 \mapsto \Omega_2$ viene detta misurabile (o talvolta $(\mathfrak{F}_1,\mathfrak{F}_2)$ -misurabile) se la controimmagine di ogni elemento di $\mathfrak{F}_2$ è in $\mathfrak{F}_1$ . Ossia, $\forall A \in \mathfrak{F}_2, f^{-1}(A) \in \mathfrak{F}_1$ .

Un caso notevole è quello di funzioni a valori reali, in cui la retta reale è equipaggiata con la sua σ-algebra boreliana (si veda sotto). In tal caso, le funzioni misurabili sono anche dette osservabili, in analogia con il precedente esempio fisico.

[modifica] Spazio di misura

Per approfondire, vedi la voce Spazio di misura.

Se $(\Omega, \mathfrak{F})$ è uno spazio misurabile, e $μ$ è una misura su $(\Omega, \mathfrak{F})$ , allora la terna $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$ è detta spazio di misura.

[modifica] Sistema dinamico

Per approfondire, vedi la voce Sistema dinamico.

Sia $(\Omega, \mathfrak{F})$ uno spazio misurabile, $S$ un semigruppo, e per ogni $s \in S$ , sia $T_s :\Omega \mapsto \Omega$ un'applicazione misurabile con la proprietà che $T_s \circ T_t=T_{st}$ (ossia, $T$ è un'azione misurabile di $S$ su $Ω$ ). La terna $(\Omega, \mathfrak{F}, T)$ è detta sistema dinamico. Questa nozione (o sue generalizzazioni) è alla base della teoria matematica della Meccanica classica, della Meccanica statistica, della teoria ergodica, della Meccanica quantistica, della Teoria dei campi, della Teoria dell'informazione, dell'Informatica teorica, e di recenti sviluppi della Teoria dei gruppi.

[modifica] Principali risultati

Data una famiglia $\left\{\mathfrak{F}_\alpha \right\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$ qualunque (finita o infinita) di σ-algebre, è facile verificare che la loro intersezione $\mathfrak{F}_{\mathcal{A}}:= \bigcap_{\alpha \in \mathcal{A}} \mathfrak{F}_\alpha$ è ancora una σ-algebra. Essa è la più grande σ-algebra contenuta in tutte le algebre $\mathfrak{F}_\alpha$ , ossia se $\mathfrak{F} \subset \mathfrak{F}_\alpha$ , per ogni $\alpha \in \mathcal{A}$ , allora $\mathfrak{F} \subset \mathfrak{F}_\mathcal{A}$ . Pertanto, data una famiglia qualsiasi $\mathfrak{G}$ di sottoinsiemi di $Ω$ , si può considerare la σ-algebra generata da $\mathfrak{G}$ , come l'intersezione di tutte le σ-algebre contenenti $\mathfrak{G}$ . Dunque, dalla definizione stessa di σ-algebra generata da $\mathfrak{G}$ , segue che essa è la più piccola σ-algebra contenente $\mathfrak{G}$ . Questa osservazione è molto utilizzata per la costruzione di misure, in quanto consente di definire una σ-algebra semplicemente fornendo una famiglia di insiemi che la generano. La σ-algebra generata da un insieme $\mathfrak{G}$ è spesso denotata $\sigma(\mathfrak{G})$ .

Nel caso di famiglie finite $\mathfrak{G}= \{G_1,...,G_n\}$ , tale σ-algebra (o equivalentemente tale algebra) si può enumerare esplicitamente, ponendo:

$\sigma(\mathfrak{G}) = \{\bigcup_{i=1}^n G_i^*, G_i^* = G_i, G_i^C , n \in \N\}$ ,

cioè l'insieme delle unioni finite tra elementi e tra complementari, semplicemente "chiudendo" la famiglia rispetto le operazioni di unione e complementare.

Ricordiamo che un π-sistema $\mathcal{P}$ è una famiglia non vuota di sottoinsiemi di $Ω$ stabile per intersezione: se $A, B \in \mathcal{P}$ allora $A \cap B \in \mathcal{P}$ . Analogamente, una famiglia $\mathcal{L}$ di sottoinsiemi di $Ω$ è detta un λ-sistema se:

$\Omega \in \mathcal{L}$ .
È chiusa per passaggio al complementare: $A \in \mathcal{L} \Rightarrow A^c \in \mathcal{L}$ .
È stabile per unioni numerabili disgiunte: se gli insiemi $A_i \in \mathcal{L}$ per $i \in \mathbb{N}$ sono a due a due disgiunti, allora $\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \in \mathcal{L}$ .

In tale contesto, è possibile dimostrare ^[4] in maniera elementare il seguente risultato:

Teorema: Teorema π-λ di Dynkin

Su un qualunque insieme $Ω$ non vuoto, se un π-sistema $\mathcal{P}$ è contenuto in un λ-sistema $\mathcal{L}$ , allora l'intera σ-algebra generata da $\mathcal{P}$ è contenuta in $\mathcal{L}$ . Ossia $\mathcal{P} \subset \mathcal{L} \Rightarrow \sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L}$ .

Tale teorema è molto spesso utilizzato in teoria della misura ^[5]. Ad esempio, ne segue che è sufficiente assegnare i valori di una misura $μ$ su di un λ-sistema contenente un π-sistema $\mathcal{P}$ , per costruire lo spazio di misura $\left(\Omega, \sigma(\mathcal{P}), \mu \right)$ . Infatti, proprio per il teorema π-λ di Dynkin, la misura $μ$ è ben definita su tutto $\sigma(\mathcal{P})$ .

[modifica] Esempi ed applicazioni

Dato un qualunque insieme (non vuoto) $Ω$ , la famiglia di sottoinsiemi $\mathfrak{F}_0= \{\emptyset, \Omega \}$ è una σ-algebra. Anche la famiglia $\mathfrak{F}_{\mathcal{P}}$ costituita da tutti i sottoinsiemi di $Ω$ (insieme delle parti) è una σ-algebra. Queste sono rispettivamente la più piccola e la più grande σ-algebra su $Ω$ ; ossia, se $\mathfrak{F}$ è una σ-algebra su $Ω$ allora $\mathfrak{F}_0 \subset \mathfrak{F}\subset \mathfrak{F}_{\mathcal{P}}$ . In genere, queste due σ-algebre sono dette improprie o banali.

Ogni algebra di insiemi composta da un numero finito di elementi, è una σ-algebra, in quanto non ci sono famiglie di insiemi con un numero infinito di elementi (si vedano dunque gli esempi alla voce algebra di insiemi).

Dato un qualunque insieme (non vuoto) $Ω$ , la famiglia composta da tutti i sottoinsiemi di $Ω$ che hanno cardinalità numerabile o il cui complementare abbia cardinalità numerabile è una σ-algebra. Essa è distinta dall'insieme delle parti di $Ω$ se e solo se $Ω$ è non numerabile.

Consideriamo l'insieme dei numeri reali (o più in generale $\mathbb{R}^n$ ), con la usuale topologia euclidea $\mathcal{\Tau}$ (ossia, $\mathcal{\Tau}$ è la famiglia dei sottoinsiemi aperti di $\mathbb{R}^n$ ). Si definisce σ-algebra boreliana la σ-algebra generata da $\mathcal{\Tau}$ , in genere denotata con $\mathfrak{B}= \sigma(\mathcal{\Tau})$ . Gli elementi di $\mathfrak{B}$ sono detti boreliani, e si può dimostrare che essi hanno la cardinalità del continuo (dunque, i sottoinsiemi boreliani sono pochi rispetto a tutti i sottoinsiemi della retta reale, che hanno un cardinalità superiore a quella dei reali stessi). Sulla σ-algebra boreliana si possono definire molte delle misure (sull'asse reale) comunente utilizzate. È anche interessante notare che la nozione di σ-algebra è nata storicamente proprio dalla generalizzazione di questa costruzione.

Più in generale, la costruzione di σ-algebra boreliana si può effettuare su qualunque spazio topologico $(X, \mathcal{\Tau})$ , semplicemente ponendo $\mathfrak{B}= \sigma(\mathcal{\Tau})$ . Questa σ-algebra è utilizzata per costruire misure in spazi più generali della retta reale. Ad esempio, la misura di Haar su gruppi topologici localmente compatti è definita proprio mediante la σ-algebra boreliana del gruppo. Analogamente, la nozione di dualità tra funzioni continue e misure su di uno spazio topologico, si costruisce (in spazi sufficientemente regolari) proprio equipaggiando lo spazio con la sua σ-algebra boreliana.

Nel caso in cui $\Omega = \mathbb{R}^n$ , è talvolta utilizzata una σ-algebra molto più ampia di quella boreliana: la σ-algebra di Lebesgue. Essa è definita come il completamento della σ-algebra boreliana rispetto alla misura di Borel, ed è fondamentale per la costruzione della celebre misura di Lebesgue. La σ-algebra di Lebesgue ha cardinalità superiore a quella del continuo: naturalmente essa è contenuta nell'insieme delle parti dei numeri reali, si veda il primo esempio sopra. È tuttavia lecito chiedersi se vi siano sottoinsiemi dei numeri reali che non appartangano alla σ-algebra di Lebesgue (tali sottoinsiemi sono anche detti insiemi non misurabili secondo Lebesgue). Ebbene, l'esistenza di tali sottoinsiemi è legata all'assioma della scelta, ovvero essi si possono costruire se e solo se si assume tale assioma.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Patrick Billingsley. Probability and measure. 3rd edition. New York, John Wiley & Sons, 1995. ISBN 0-471-00710-2.

Carl B. Boyer. History of Mathematics. 2nd edition. New York, John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-54397-7

Donald L. Cohn. Measure Theory. Boston, Birkhäuser, 1980. ISBN 0-849-37157-0

Paul R. Halmos. Measure Theory. New York, Springer-Verlag, 1974. ISBN 0-387-90088-8

Eric M. Verstrup. The Theory of Measures and Integration. Hoboken, John Wiley & Sons, 2003. ISBN ISBN 0-471-24977-7

[modifica] Note

^ Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova in Boyer History of Mathematics, cap. 28.
^ Per un'introduzione alle idee della teoria della misura (come appunto quella di σ-algebra), ed alle loro applicazioni si veda Billingsley Probability and measure. Una presentazione generale, ma più astratta, è data anche in Cohn, Measure Theory. Un testo introduttivo classico è Halmos Measure Theory.
^ In genere, il procedimento di costruzione di una σ-algebra è parte della costruzione generale del relativo spazio misurabile. Per approfondire le tematiche della costruzione di σ-algebre si veda pertanto questa sezione nell'articolo sugli spazi misurabili.
^ Per la dimostrazione, si veda: Vestrup, The Theory of Measures and Integration pag. 14
^ Alcune esempi sono dati in Vestrup, The Theory of Measures and Integration cap. 3 e cap. 11

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