พีชคณิตซิกมา

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีคุณสมบัติปิดภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้. พีชคณิตซิกมาเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น.

[แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด $\Sigma \subseteq 2^X$ , เราจะกล่าวว่า $Σ$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน $X$ ก็ต่อเมื่อ $Σ$ มีคุณสมบัติต่อไปนี้

$\varnothing \in \Sigma$
ถ้า $E \in \Sigma$ แล้ว, $E^c \in \Sigma$ ด้วย
ถ้า $E_1, E_2, E_3, ... \in \Sigma$ แล้ว $\bigcup_{n=1}^\infty E_n \in \Sigma$ ด้วย

[แก้] หมายเหตุ

การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น $X$ ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์.
จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก $\bigcap_{n=1}^\infty E_n = (\bigcup_{n=1}^\infty E_n^c)^c$
ในทฤษฎีการวัดนั้น สมาชิกของ $Σ$ ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้ หรือ เซตที่สามารถหาค่าเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์ $(X,Σ)$ ว่า ปริภูมิที่สามารถวัดได้ หรือ ปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ (โดยฟังก์ชันการวัด หรือเมเชอร์ฟังก์ชัน จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามการวัดในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีการวัด)
ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย $(\Omega,\mathfrak{F})$ เนื่องจาก $X$ มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ $Σ$ มักใช้แทนการหาอนุกรม. นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก ฟิลด์ของเซต และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้.

[แก้] ตัวอย่าง

กำหนด $X$ เป็นเซตใด ๆ. เราจะได้ว่า $\{X,\varnothing\}$ เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน $X$ , และ $2 X$ เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน $X$
กำหนด ${Σ α}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน $X$ เราจะได้ว่า $\bigcap_{\alpha} \Sigma_\alpha$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน $X$ ด้วย
(แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ ${Σ α}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน $X$ ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก $\bigcap_{\alpha} \Sigma_\alpha$ ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด. สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก). เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่าพีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด.
ในปริภูมิยุคลิด $\mathbb{R}^n$ อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในการวัด ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต. สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก. โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว.