Energia degli stati stazionari dell'atomo di idrogeno

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L'atomo di idrogeno è il più semplice, essendo formato solamente da un protone ed un elettrone. Tuttavia anche per un caso così poco complesso, la trattazione completa quantistica è abbastanza complicata, per divenire presto intrattabile nel caso di strutture più articolate, come atomi di elevato numero atomico e molecole.

[modifica] Interazione spin-spin

Come introduzione al problema, limitiamoci a considerare solo l'interazione tra gli spin dell'elettrone e del protone. Entrambe le particelle hanno spin 1/2, e quindi abbiamo 4 possibili stati:

${\left|++\right\rangle},{\left|+-\right\rangle} ,{\left|-+\right\rangle},{\left|--\right\rangle}$

dove i segni sono rispettivamente gli spin dell'elettrone e del protone. Utilizzando l'operatore di scambio spin di Dirac σ, l'hamiltoniana del sistema è

$H = E_0 + A \sigma_e \cdot \sigma_p$

in cui E₀ è l'energia media del sistema. Per semplificare i calcoli, la consideriamo pari a 0, misureremo quindi le variazioni di energia degli stati rispetto all'energia media.

Esplicitando H nei suoi componenti, risulta

$H = \left( \begin{matrix} A, & 0, & 0,& 0 \\ 0,& -A, & 2A ,& 0 \\ 0,& 2A, & -A, & 0\\ 0,& 0,& 0,& A \end{matrix} \right)$

Considerando le ampiezze di probabilità C_i per i vari stati, si ha

$i \hbar \frac {\partial C_1}{\partial t} = AC_1$

$i \hbar \frac {\partial C_2}{\partial t} = -AC_2 +2AC_3$

$i \hbar \frac {\partial C_3}{\partial t} = 2AC_2-AC_3$

$i \hbar \frac {\partial C_4}{\partial t} = AC_4$

Dato che vogliamo degli stati stazionari, C_i avrà la forma $a_ie^{(-i/ \hbar)Et}$ , in cui a_i è indipendente dal tempo. Derivando e sostituendo otteniamo

E a 1 = A a 1

E a 2 = - A a 2 + 2 A a 3

E a 3 = 2 A a 2 - A a 3

E a 4 = A a 4

Una soluzione banale è a_i=0, che scartiamo in quanto il sistema non può restare sempre nello stesso stato, in quanto si violerebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. Un'altra soluzione è a₁=1, a₂=a₃=a₄=0, che ci dà E_I = A . Immediatamente dalla quarta relazione otteniamo un altro stato simile, E_II = A. Per gli altri 2 stati, consideriamo la somma e la sottrazione della seconda e terza relazione. Avremo

$\left|III\right\rangle= \frac 1 {\sqrt2} (\left|2\right\rangle + \left|3\right\rangle)$

$\left|IV\right\rangle= \frac 1 {\sqrt2} (\left|2\right\rangle - \left|3\right\rangle)$

Dalla prima si ottiene facilmente E_III = A, e dalla seconda E_IV = -3A. Otteniamo dunque tre stati con un'energia A al di sopra di E₀, e uno con energia 3A inferiore. l'energia necessaria per eccitare l'atomo dallo stato più basso a uno dei più alti è 4A. Dalla relazione ω=4A/h posso ricavare la frequenza di eccitazione dell'idrogeno. Sperimentalmente si trova che f=1.420.405.751.800Hz. Quindi, reintroducendo l'energia media, gli stati sono E_I,II,III=E₀ + A, E_IV=E₀ - 3A. Confrontando con il determinante dell'hamiltoniana -3A⁴, constatiamo la correttezza delle soluzioni, infatti A ×A×A×(-3A) = -3A⁴.