凱萊-哈密頓定理

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在線性代數中，凱萊-哈密頓定理（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個實或複方陣都滿足方陣的特徵方程式。

明確地說：設 $A$ 為給定的 $n \times n$ 矩陣，並設 $I n$ 為 $n \times n$ 單位矩陣，則 $A$ 的特徵多項式定義為：

$p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,$

其中 det 表行列式函數。凱萊-哈密頓定理斷言：

$p(A)=0.\,$

此定理對佈於任何交換環上的方陣皆成立。

凱萊-哈密頓定理的重要推論之一是矩陣的極小多項式整除其特徵多項式，這在尋找約當標準形時特別有用。

[编辑] 例子

舉例明之，考慮下述方陣：

$A = \begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.$

其特徵多項式為

$p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\ -3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.$

此時可以直接驗證凱萊-哈密頓定理：

A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0

A 2 = 5 A + 2 I 2 .

例如，為了計算 $A 4$ ，可以反覆利用上述關係式：

A 3 = (5 A + 2 I 2) A = 5 A 2 + 2 A = 5(5 A + 2 I 2) + 2 A = 27 A + 10 I 2

A 4 = A 3 A = (27 A + 10 I 2) A = 27 A 2 + 10 A = 27(5 A + 2 I 2) + 10 A

A 4 = 145 A + 54 I 2 .

此外，凱萊-哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若 $n \times n$ 矩陣 $A$ 可逆（即： $\det A \neq 0$ ），則 $A - 1$ 可以寫成 $A$ 的冪次和：特徵多項式有如下形式

$p(\lambda)=\lambda^n\rm tr} (A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A),$

將方程式 $p (A) = 0$ 同乘以 $A - 1$ ，便得到

$A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}\rm tr} (A)A^{n-2}+\cdots).$

[编辑] 定理證明

以下考慮佈於域 $k = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 上的矩陣。

凱萊-哈密頓定理可以視為線性代數中克萊姆法則的推論。克萊姆法則斷言：若 $S$ 是 $n \times n$ 矩陣，而 $cof(S)$ 表其餘因子矩陣，則

$S \cdot \mathrm{cof}(S)^t = \det (S) I_n$

取 $S : = t I n - A$ ，便得到 $(t I n - A)cof(t I n - A) = p A (t) I n$ 。此式對所有 $t$ 皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環 $k [t]$ 內成立。

設 $M : = k n$ ，矩陣 $A$ 賦予 $M$ 一個 $k [t]$ -模結構： $f(t) \cdot m = f(A)m$ 。考慮 $k [t]$ -模 $M[t] := M \otimes_k k[t]$ ，我們有 $k [t]$ -模之間的「求值態射」：

$e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m$

固定 $m \in M$ ，對 $M [t]$ 中的等式

$(tI_n-A) \cdot \mathrm{cof}(tI_n-A)^t \,m = p_A(t) m$

右側取 $e A$ 後得到 $p A (A) m$ ，左側取 $e A$ 後得到 $(A-A) \cdot (\cdots) = 0$ 。明所欲證。

[编辑] 抽象化與推廣

前述證明用到係數在 $k [t]$ 的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊-哈密頓定理可以推廣到一個交換環 $R$ 上的任何有限生成自由模 $M$ （向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

[编辑] 外部連結

PlanetMath 上的證明

分类: 線性代數 | 矩陣論 | 数学定理

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