Satz von Cayley-Hamilton
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Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) besagt in der linearen Algebra, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist, es gilt also
.
Diese Gleichung ist als eine Gleichung im Polynomring R[X] aufzufassen, wobei 
wiederum der Ring der komplexen quadratischen 
-Matrizen (mit der Matrizenmultiplikation als Multiplikation) ist. Insbesondere steht auf der rechten Seite der Gleichung die Nullmatrix.
Einfache Folgerungen aus diesem Satz sind:
- Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Unterraum des Vektorraums aller quadratischen Matrizen auf, der höchstens die Dimension der Zeilenzahl n hat.
- Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix für Exponenten kleiner als die Zeilenzahl darstellbar.
- Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom.
Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen finden. Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen.
[Bearbeiten] Verallgemeinerung
Es seien A ein kommutativer Ring mit Einselement und M ein A-Modul, der von n Elementen erzeugt werden kann. Weiter sei f ein Endomorphismus von M, für den
für ein Ideal 
gilt. Dann gibt es ein normiertes Polynom 
mit 
, so dass 
gilt.
