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特徵多項式 - Wikipedia

特徵多項式

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在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。

[编辑] 定義

設 $k$ 為域（例如實數或複數域），對佈於 $k$ 上的 $n \times n$ 矩陣 $A$ ，定義其特徵多項式為

$p_A(t) := \det (t I_n - A) \in k[t]$

這是一個 $n$ 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

[编辑] 性質

當 $A$ 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時， $p_A(t) = \prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)$ ，其中 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 $p A (t) = t 2 - tr(A) t + det A$ 。一般而言，若 $p_A(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \ldots + a_0$ ，則 $a 0 = ( - 1) n det(A)$ ， $a n - 1 = - tr(A)$ 。

此外：

特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 $C$ 使得 $B = C - 1 A C$ ，則 $p A (t) = p B (t)$ 。
對任意兩方陣 $A, B$ ，有 $p A B (t) = p B A (t)$ 。一般而言，若 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣， $B$ 為 $n \times m$ 矩陣（設 $m < n$ ），則 $p A B (t) = t n - m p B A (t)$
凱萊-哈密頓定理： $p A (A) = 0$ 。

分类: 線性代數 | 矩陣論

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