交換環上的代數

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在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。

[编辑] 定義

設 $A$ 為一交換環， $A$ 上的代數（或稱 $A$ -代數）是下述結構：

集合 $E$ 是個 $A$ -模。
指定 E 上的一個二元運算，通常以乘法符號表示：
- $(x,y) \mapsto xy$
此二元運算是雙線性的，換言之：

$\forall x,y,z \in E, \; x(y+z) = xy + xz, (y+z)x = yx + zx$

$\forall a \in A, x,y, \in E, \; (ax)y = x(ay) = a(xy)$

最常考慮的情形是 $A$ 是一個域，這時稱域代數，一些作者也將代數定義成域上的代數。

若 $E$ 上的乘法滿足交換性 $x y = y x$ ，則稱之為 可交換代數；若 $E$ 上的乘法滿足結合律 $x (y z) = (x y) z$ ，則稱之為結合代數，詳閱主條目結合代數。交換代數學中考慮的代數均屬可交換的結合代數。

[编辑] 代數同態

設 $E, F$ 是 $A$ -代數， $A$ -模間的同態 $\phi: E \rightarrow F$ 被稱作 $A$ -代數間的同態，若且唯若它滿足 $\forall x,y \in E, \; \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ 。因此所有 $A$ -代數構成一個範疇，也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。

[编辑] 結構常數

設 $E$ 是 $A$ -代數。當 $E$ 是個自由的有限秩 $A$ -模（當 $A$ 為域且 $\dim_A E < \infty$ 時自動成立）時，可選定一組基底 $e_1, \ldots, e_n$ ，並將乘法寫作

$e_i e_j = \sum_k c_{ij}^k e_k \quad$ （採用愛因斯坦記號）

此時常數 $c_{ij}^k \in A$ 稱作 $E$ 對基底 $e_1, \ldots, e_n$ 的結構常數。

[编辑] 例子

任何環都是結合 $\mathbb{Z}$ -代數；更一般地說，若 $A_0 \rightarrow A$ 為環同態，則 $A$ 藉此可自然地視作結合 $A 0$ -代數。
矩陣環對矩陣乘法是結合代數，但乘法非交換。
同樣取矩陣環，並假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 ${X, Y} = (X Y + Y X) / 2$ ，此時得到交換、非結合的代數。這是約當代數的例子
歐氏空間 $\mathbb R^3$ 對其外積構成一個非交換、非結合的 $\mathbb{R}$ -代數。這是李代數的例子。
四元數 $\mathbb H$ 是一個非交換的結合 $\mathbb{R}$ -代數。
八元數 $\mathbb O$ 是一個非交換、非結合的 $\mathbb{R}$ -代數。