Nghịch lý Russell

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Nghịch lý Russell (Russell's paradox) được mô tả qua một câu chuyện vui về ông thợ cạo như sau:

Có ông thợ cạo, vốn là cư dân của làng wikipedia, tuyên bố: "Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông nào của làng wikipedia mà không tự cạo râu". Như thế các đấng nam nhi của làng wikipedia chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạo râu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì ông thợ cạo thuộc nhóm nào đây? Nếu thuộc nhóm 1 tức là nhóm tự cạo râu nên ông không cạo cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông thuộc nhóm hai. Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Té ra ông này thuộc loại đại rắc rối, xếp vào nhóm nào cũng gặp mâu thuẫn cả!

Thật ra mâu thuẫn này gặp phải khi ta xét tập hợp "E là tập hợp của tất cả các tập hợp" để rồi gặp phải tình huống: “Tập E là một phần tử của chính nó hay không phải là phần tử của nó đều gặp chuyện ngược đời”. Sau đó để sửa sai, người ta không dùng "tập hợp của tất cả các tập hợp" mà đề xuất một khái niệm mới, tổng quát hơn là "lớp". Trong công việc của các nhà toán học cụ thể, người ta chỉ cần khoanh vùng một tập hợp bao gồm đủ nhiều các tập hợp nào đó (nhưng không phải là tất cả) để làm việc thì sẽ không phải gặp mâu thuẫn nữa. Tập này được gọi là một "vũ trụ" của người làm toán ứng với một ngành toán nào đó.

Một phần của nghịch lý, được khám phá bởi Bertrand Russell vào năm 1901.

Giả sử tập M là "tập hợp tất cả các tập hợp không chứa chính nó". Một cách hình thức : A là một phần tử của tập M nếu và chỉ nếu A không là phần tử của chính A.

Nếu M chứa chính nó thì theo định nghĩa của M,tập M không phải là một phần tử của M . Nếu M không chứa chính nó thì cũng do định nghĩa của M chính M lại là một phần tử của M. Các mệnh đề "M là một phần tử của M" và "M không là phần tử của M" cả hai không thể đúng, đó chính là mâu thuẫn.

Nghịch lý này thúc đẩy Russell phát triển lý thuyết kiểu và Ernst Zermelo phát triển lý thuyết tập hợp tiên đề ngày nay trở thành lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel.

Bài này còn sơ khai. Bạn có thể góp sức viết bổ sung cho bài được hoàn thiện hơn. Xem phần trợ giúp để biết thêm về cách sửa đổi bài.