Paradoxe du barbier

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le paradoxe du barbier est une illustration à but didactique du paradoxe de Russell, attribuée à Bertrand Russell lui même. Il ne faut donc pas donner une importance excessive à ce « paradoxe », que le logicien E. W. Beth qualifie d'« antinomie prétendue » ou de « pseudo-antinomie ».

[modifier] Énoncé du paradoxe du barbier

On peut énoncer le paradoxe ainsi :

Le conseil municipal d'un village arrête une ordonnance qui enjoint à son barbier (masculin) de raser tous les habitants masculins du village qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci.

Le barbier, qui est bien un habitant du village, n'a pas pu respecter cette règle car :

S'il se rase lui-même, il enfreint la règle, car le barbier ne peut raser que les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes ;
S'il ne se rase pas lui-même (qu'il se fasse raser ou qu'il conserve la barbe), il est en tort également, car il a la charge de raser les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.

Cette règle est donc inapplicable. S'agit-il pour autant d'un paradoxe ? Il n'y a aucune raison de penser qu'un conseil de village ou toute autre instance ne puisse rendre une ordonnance absurde. De fait, loin d'être une antinomie logique, ce « paradoxe » montre simplement qu'un barbier respectant cette règle ne peut exister. Il s'agit d'une illustration de ce que, si R est une relation binaire quelconque (en l'occurrence «... rase ... »), l'énoncé suivant, écrit en langage formel :

¬ ∃y ∀x (y R x ⇔ ¬ x R x)

est une formule universellement valide du calcul des prédicats du premier ordre. On se reportera à l'article sur le paradoxe de Russell pour voir pourquoi cela peut conduire, dans le cas de la relation d'appartenance dans une théorie des ensembles trop naïve, à une véritable antinomie, c’est-à-dire à une contradiction démontrée dans la théorie.

Le paradoxe du barbier constitue une illustration particulièrement simple de l'argument diagonal de Cantor, ce qui ne signifie pas que ce dernier se réduit à celui-ci. Comme il s'applique en fait à n'importe quelle relation (binaire), on peut en donner, avec plus ou moins de bonheur, de multiples variantes. Citons celle-ci, due à Martin Gardner : est-il logiquement possible d'écrire une encyclopédie qui répertorie toutes les encyclopédies ne se répertoriant pas elles-mêmes et seulement celles-ci ? La réponse est non, puisque cette encyclopédie ne peut ni se répertorier, ni ne pas se répertorier.

[modifier] Articles connexes

[modifier] Sources

E. W. Beth, Les fondements logiques des mathématiques - Gauthier-Villars (Paris) / E. Nauwelaerts (Louvain) 1950.
Martin Gardner, La magie des paradoxes - Pour la Science 1985.
Nicholas Falletta, Le livre des paradoxes - Belfond / sciences, 1988 ISBN 2.7144.1789.2