Russellin paradoksi
Wikipedia
Russellin paradoksi on Bertrand Russellin vuonna 1901 keksimä paradoksi, joka todistaa Gottlob Fregen ja Georg Cantorin naiivin joukko-opin sisäisesti ristiriitaiseksi.
Paradoksin voi esittää konkreettisena esimerkkinä: oletetaan, että kylän parturi ajaa parran niiltä ja vain niiltä kylän miehiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako hän tällöin oman partansa? Jos parturi ajaa oman partansa, hän ei aja omaa partaansa ja kääntäen.
Formaalimmin paradoksi määritellään siten, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) alkiot, jotka eivät ole myös yhtenä joukkona itsessään. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole oma alkionsa. Paradoksi on: kuuluuko joukko M myös yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluu, niin ei kuulu, jos taas ei kuulu niin kuuluu.
Matemaattisesti ongelman voi ilmaista seuraavasti: olkoon M = { x : x∉x }. Tällöin jos M∈M, määritelmän mukaan M∉M. Vastaavasti jos M∉M, määritelmän mukaan M∈M.
Russellin paradoksin keksiminen johti aksiomaattisen joukko-opin keksimiseen. Nykyään puhutaankin, että M = { x : x∉x } on luokka eikä joukko. Aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen vaikutti suuresti Kurt Gödel. Hän todisti epätäydellisyysteoreemansa todeksi ja todisti samalla, ettei matematiikka voi olla sisäisesti täysin ristiriidaton. Myös Alan Turing käytti Gödelin tulosta todistaessaan pysähtymisongelman ratkaisemattomuuden.
[muokkaa] Aiheesta muualla
- Stanford Encyclopedia of Philosophy: Russell's Paradox (englanniksi)
