เวกเตอร์สี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ลิงก์ข้ามภาษาที่แทรกในบทความนี้ ผู้เขียนอาจใส่ไว้เพื่อความสะดวกสำหรับผู้อ่านและผู้ร่วมปรับปรุงแก้ไขบทความ ให้โยงไปถึงบทความที่เกี่ยวข้องในภาษาอื่นเพื่อการตรวจสอบหรืออ่านเพิ่มเติม เนื่องจากคำ หรือวลีนั้นๆ ยังไม่มีคำแปลหรือคำอธิบายที่เหมาะสมในภาษาไทย เมื่อหมดความจำเป็นแล้ว ลิงก์ข้ามภาษาจะถูกตัดออกหรือเปลี่ยนเป็นข้อความที่ไม่มีลิงก์แทน ทั้งนี้ เพื่อให้เป็นไปตามมาตรฐานวิกิพีเดียไทย

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ (spatial rotations) และ การบูสต์ (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา $\left(t,x,y,z\right)$

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวมๆ ว่า การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ $4\times 4$

เนื้อหา

1 คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ
2 ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์
- 2.1 Deriving E = mc²
3 ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า
4 อ้างอิง
5 ดูเพิ่ม

[แก้] คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า เหตุการณ์ (event) และถูกบรรยายด้วย เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector) กำหนดโดย

$\mathsf{x}:=\left(x^\mu\right)=\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right)=\left(ct, x, y, z \right)$

สำหรับ $\left.\mu=0,1,2,3\right.$ เมื่อ $\left.c\right.$ เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light)

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ $\mathsf{x}$ กับ $\mathsf{y}$ ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation)

$\mathsf{x}\cdot\mathsf{y}$	$\equiv x^\mu\eta_{\mu\nu}y^\nu = \left( \begin{matrix}x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}y^0 \\ y^1 \\ y^2 \\ y^3 \end{matrix} \right)$
	$= \left.- x^0 y^0 + x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3\right.$

เมื่อ $\left.\eta\right.$ เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ สเปซไลค์ (spacelike) ไทม์ไลค์ (timelike) และ นัล (lightlike หรือ null)

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

[แก้] ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์

$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}$

เมื่อ $\left.\gamma\right.$ คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

$\mathsf{U} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{x}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathsf{x} = \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)$

หรือ

$\left(U^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(x^\mu\right)= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma c, \gamma u^i \right)$

เมื่อ

$u^i = \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}$

สำหรับ $\left.i=1,2,3\right.$ สังเกตว่า

$\mathsf{U}\cdot\mathsf{U} := U^\mu U_\mu = -c^2$

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

$\mathsf{A} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{U}= \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\mathsf{x} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \mathbf{\dot{u}} \right)$

หรือ

$\left(A^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(U^\mu\right) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma}u^i + \gamma^2\dot{u}^i \right)$

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติคือ $\mathsf{A}\perp\mathsf{U}$

$\mathsf{A}\cdot\mathsf{U} := A^\mu U_\mu = 0$

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย

$\mathsf{P} := m\mathsf{U} = \left(\gamma mc, \gamma m\mathbf{u}\right)= \left(\gamma mc, \mathbf{p}\right)$

หรือ

$\left(P^\mu\right) := m\left(U^\mu\right) = \left(\gamma mc, \gamma mu^i\right) = \left(\gamma mc, p^i\right)$

เมื่อ $\left.m\right.$ คือมวลของอนุภาค และ $\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{u}$ คือโมเมนตัมของอนุภาค

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย

$\mathsf{F} := \frac{\mathrm{d}\mathsf{P}}{\mathrm{d}\tau} = m\mathsf{A} = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma\mathbf{f} \right)$

หรือ

$\left(F^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(P^\mu\right) = m\left(A^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma \mathbf{f} \right)$

เมื่อ

$\mathbf{f} \equiv m\dot{\gamma}\mathbf{u} + m\gamma\mathbf{\dot{u}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma m\mathbf{u}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

[แก้] Deriving E = mc²

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

$\frac{dK}{dt}= \mathbf{f} \cdot \mathbf{u}$

[แก้] ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย

$\mathsf{J} := \left(J^\mu\right) = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)$

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) $\mathbf{j}$ และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) $\left.\rho\right.$

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential) กำหนดโดย

$\mathsf{A} := \left(A^\mu\right) =\left(\frac{\varphi}{c}, \mathbf{A} \right)$

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) $\mathbf{A}$ และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) $\varphi$

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) ดังนี้

$\mathsf{N} := \left(N^\mu\right) =\left(\nu, \nu \hat{\mathbf{n}}\right)$

เมื่อ $\left.\nu\right.$ เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ $\hat{\mathbf{n}}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น สังเกตว่า

$\mathsf{N}\cdot\mathsf{N} := N^\mu N_\mu = \nu^2\left(n^2-1\right) = 0$

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector

[แก้] อ้างอิง

Four-vector, วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ
Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเอกภพวิทยา โดย ณฤทธิ์ ปิฎกรัชต์

[แก้] ดูเพิ่ม

ความเร็วสี่มิติ (four-velocity)
ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration)
โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)
แรงสี่มิติ (four-force)
ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current)
ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)

เวกเตอร์สี่มิติ เป็นบทความเกี่ยวกับ ฟิสิกส์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ เวกเตอร์สี่มิติ ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ หรือ ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:ฟิสิกส์

หมวดหมู่: บทความที่รอการตรวจสอบรูปแบบ | บทความที่มีลิงก์ไปภาษาอื่นในส่วนเนื้อหา | ทฤษฎีสัมพัทธภาพ | บทความเกี่ยวกับ ฟิสิกส์ ที่ยังไม่สมบูรณ์

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

เวกเตอร์สี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เนื้อหา

[แก้] คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ

[แก้] ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์

[แก้] Deriving E = mc²

[แก้] ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

[แก้] อ้างอิง

[แก้] ดูเพิ่ม

Views

ป้ายบอกทาง

มีส่วนร่วม

ค้นหา

ภาษาอื่น

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

เวกเตอร์สี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เนื้อหา

[แก้] คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ

[แก้] ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์

[แก้] Deriving E = mc2

[แก้] ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

[แก้] อ้างอิง

[แก้] ดูเพิ่ม

Views

ป้ายบอกทาง

มีส่วนร่วม

ค้นหา

ภาษาอื่น

[แก้] Deriving E = mc²