การแปลงเชิงปริพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ลิงก์ข้ามภาษาที่แทรกในบทความนี้ ผู้เขียนอาจใส่ไว้เพื่อความสะดวกสำหรับผู้อ่านและผู้ร่วมปรับปรุงแก้ไขบทความ ให้โยงไปถึงบทความที่เกี่ยวข้องในภาษาอื่นเพื่อการตรวจสอบหรืออ่านเพิ่มเติม เนื่องจากคำ หรือวลีนั้นๆ ยังไม่มีคำแปลหรือคำอธิบายที่เหมาะสมในภาษาไทย เมื่อหมดความจำเป็นแล้ว ลิงก์ข้ามภาษาจะถูกตัดออกหรือเปลี่ยนเป็นข้อความที่ไม่มีลิงก์แทน ทั้งนี้ เพื่อให้เป็นไปตามมาตรฐานวิกิพีเดียไทย

การแปลงเชิงปริพันธ์ (integral transform) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การแปลง T ใดๆ ที่อยู่ในรูป

$(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.$

โดยส่งผ่านฟังก์ชัน f เข้าสู่การแปลง และได้ผลลัพธ์ออกมาในรูป Tf การแปลงเชิงปริพันธ์นี้เป็นตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง

การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์นั้นมีอยู่หลายชนิด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสองตัวแปร K ที่เลือกใช้ ฟังก์ชัน Kนี้เรียกว่า เคอร์เนลของการแปลง (kernel of the transform) หรือ นิวเคลียส ของการแปลง

เคอร์เนลบางตัวนั้นมี เคอร์เนลอินเวอร์ส $K - 1 (u, t)$ ซึ่งให้การแปลงกลับ:

$f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u,t)\, (Tf)(u)\, du.$

เคอร์เนลที่สมมาตร (symmetric kernel) คือ เคอร์เนลที่มีหน้าตาเหมือนกัน เมื่อสลับที่ตัวแปรทั้งสอง

[แก้] สิ่งจูงใจ

หากไม่กล่าวถึงเรื่องประโยชน์ที่ได้จากการใช้รูปแบบเครื่องหมาย สิ่งจูงใจของการใช้การแปลงเชิงปริพันธ์ที่เห็นได้ชัดเจนก็คือ ในบางปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีรูปแบบดั้งเดิมยากแก่การแก้ปัญหา การใช้การแปลงเชิงปริพันธ์เพื่อทำการแปลง รูปแบบของสมการจากในโดเมนดั้งเดิม ไปยังอีกโดเมนหนึ่งนั้น จะช่วยทำให้การจัดรูปและแก้ปัญหาสมการนั้นง่ายขึ้น หลังจากแก้ปัญหาสมการในโดเมนของการแปลงแล้ว ก็ทำการแปลงกลับให้มาอยู่ในโดเมนดั้งเดิมได้

การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม (spectral factorization) ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง

[แก้] ประวัติ

การแปลงเชิงปริพันธ์ นั้นมีประวัติความเป็นมาเริ่มต้นจากการเขียนแทนฟังก์ชันในช่วงจำกัด ใสนรูปอนุกรมฟูริเยร์ และพัฒนาต่อมาเป็นการแปลงฟูริเยร์ เพื่อใช้สำหรับฟังก์ชันในช่วงไม่จำกัด

การเขียนฟังก์ชันในรูปอนุกรมฟูริเยร์ ฟังก์ชันจะถูกเขียนอยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ ที่มีขนาด และ ตำแหน่ง ต่าง ๆ โดยฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ นี้ก็เป็นตัวอย่างของฐานเชิงตั้งฉากปรกติ

[แก้] ความสำคัญของฐานที่ตั้งฉาก

ฟังก์ชันฐานที่ตั้งฉาก (orthogonal) นั้นหมายถึง ปริพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันฐานที่ต่างกัน ตลอดทั้งช่วงโดเมนของมันจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ การแปลงเชิงปริพันธ์นั้นเพียงเป็นการเปลี่ยนรูปฟังก์ชันจากที่แสดงโดยฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง เป็นอีกฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่งเท่านั้น ค่าที่แต่ละจุดของฟังก์ชันในโดเมนของการแปลงคือ ค่าขนาดของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ ที่เป็นองค์ประกอบของการกระจายฟังก์ชันจากการแปลง กระบวนการกระจายฟังก์ชันจากรูปแบบมาตรฐาน เป็นผลบวกของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ ซึ่งอาจถูกปรับขนาด และ ตำแหน่ง เรียกว่า การแยกองค์ประกอบสเปกตรัม (spectral factorization) กระบวนการนี้คล้ายกับหลักการของการแทนจุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติ ด้วยค่าตามแกน x, y, z ซึ่งค่าแต่ละแกนจะตั้งฉากกัน และเป็นอิสระไม่ขึ้นแก่กัน ในการหาขนาดองค์ประกอบในการแยกองค์ประกอบสเปกตรัมของฟังก์ชัน F ตามฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ นั้นจะใช้คำว่า โปรเจคชัน (projection) ของ F ไปบนฟังก์ชันฐานนั้น เช่นเดียวกับในกรณีของเวกเตอร์

เราสามารถมองกราฟของฟังก์ชันบนพิกัดคาร์ทีเซียน เหมือนกับเป็นการกระจายบนฐานเชิงตั้งฉากปรกติเช่นกัน โดยแต่ละจุดบนกราฟจะเป็นองค์ประกอบของแต่ละฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ เช่นจุด (3,5) บนกราฟ หมายถึง องค์ประกอบ ของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ δ(x-3) โดยที่ "δ" คือ ฟังก์ชันครอเนกเคอร์เดลต้า (Kronecker delta function) ที่มีขนาดเท่ากับ 5 หากมองเช่นนี้แล้ว กราฟต่อเนื่องของฟังก์ชันจำนวนจริงบนระนาบ ก็คือผลรวมของฟังก์ชันฐานจำนวนไม่จำกัด เพราะหากฟังก์ชันฐานมีจำนวนจำกัด เส้นกราฟก็ควรจะมีรูปร่างเป็นจุด ๆ แทนที่จะเป็นเส้นต่อเนื่อง

[แก้] ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์

ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลง	สัญลักษณ์	$K$	t₁	t₂	$K - 1$	u₁	u₂
การแปลงฟูริเยร์ (Fourier transform)	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
การแปลงฮาร์ทลีย์ (Hartley transform)	$\mathcal{H}$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
การแปลงเมลลิน (Mellin transform)	$\mathcal{M}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
การแปลงลาปลาซสองด้าน (Two-sided Laplace transform)	$\mathcal{B}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
การแปลงลาปลาซ (Laplace transform)	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
การแปลงแฮงเคิล (Hankel transform)		$t\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$	$u\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$
การแปลงอาเบล (Abel transform)		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u\,$	$\infty\,$	$\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}$	$t\,$	$\infty\,$
การแปลงฮิลเบิร์ต (Hilbert transform)	$\mathcal{H}il$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
การแปลงเอกลักษณ์ (Identity transform)		$\delta (u-t)\,$	$t_1<u\,$	$t_2>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_1\!<\!t$	$u_2\!>\!t$

ในการแปลงกลับ ค่า c เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นกับฟังก์ชันของการแปลง เช่น สำหรับการแปลงลาปลาซด้านเดียว และสองด้าน c จะต้องมีค่ามากกว่า ค่าส่วนจำนวนจริงที่มากที่สุดของค่าศูนย์(zero) ฟังก์ชันของการแปลง

[แก้] ดูเพิ่ม

รายชื่อการแปลง (คณิตศาสตร์)

หมวดหมู่: บทความที่รอการตรวจสอบรูปแบบ | บทความที่มีลิงก์ไปภาษาอื่นในส่วนเนื้อหา | การแปลงเชิงปริพันธ์ | คณิตวิเคราะห์

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

การแปลงเชิงปริพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เนื้อหา

[แก้] สิ่งจูงใจ

[แก้] ประวัติ

[แก้] ความสำคัญของฐานที่ตั้งฉาก

[แก้] ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์

[แก้] ดูเพิ่ม

Views

ป้ายบอกทาง

มีส่วนร่วม

ค้นหา

ภาษาอื่น