Legendrov simbol
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Legendrov simbol [ležándrov simból] je v teoriji števil simbol, ki se uporablja pri faktorizaciji in kvadratnih ostankih. Simbol je uvedel Adrien-Marie Legendre.
[uredi] Definicija
Legendrov simbol je poseben primer Jacobijevega simbola. Odvisen je od tega ali za dve celi števili p in a velja:
(oziroma p deli a), ali
(oziroma a je kvadrat mod p) ali
(oziroma a ni kvadrat mod p).
Če je p liho praštevilo in a celo število je Legendrov simbol:
Simbol se označuje tudi kot:
[uredi] Lastnosti Legendrovega simbola
Legendrov simbol ima več uporabnih lastnosti, ki pospešijo računanje:
(je popolnoma multiplikativna funkcija za zgornji argument)- Če je a ≡ b (mod p), potem velja
, oziroma = 1, če je p ≡ 1 (mod 4) in = −1, če je p ≡ 3 (mod 4)
, oziroma = 1, če je p ≡ 1 ali 7 (mod 8) in = −1, če je p ≡ 3 ali 5 (mod 8)- Za liho praštevilo q velja
Zadnja lastnost je znana kot kvadratični reciprocitetni zakon. Lastnosti 4 in 5 sta tradicionalno znani kot dodatka k kvadratni recipročnosti. Dokazati ju je moč z Gaussovo lemo.
Legendrov simbol je povezan z Eulerjevim kriterijem. Euler je dokazal, da
Legendrov simbol je tudi Dirichletov karakter.
[uredi] Sorodne funkcije
Jacobijev simbol je posplošitev Legendrovega simbola, ki dovoljuje sestavljena spodnja števila. S posplošitvijo je moč uspešno računati Legendrove simbole.
Druga posplošitev je Kroneckerjev simbol.
