Celo število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Množica célih števíl, običajno označena kot Z (Z ali ) (nemško Zahlen: število) je določena kot množica ekvivalenčnih razredov urejenih parov naravnih števil N x N z ekvivalenčno relacijo (a, b) ~ (c, d), pri kateri velja:

a + d = b + c.

Dvočleni aritmetični operaciji seštevanja in množenja celih števil sta določeni z:

(a, b) + (c, d) ≡ (a + c,b + d),

(a, b) · (c, d) ≡ (a · c + b · d, a · d + b · c).

Običajno razred (a, b) označimo z znakom n, če velja b ≤ a in -n, če je a ≤ b, kjer je n poljubno naravno število, da velja a = b + n in a + n = b. S takim zapisom cela števila tvorijo znano množico {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}. Nekaj primerov:

 0 = ekvivalenčni razred (0, 0) = ekvivalenčni razred (1, 1) = ...

 1 = ekvivalenčni razred (1, 0) = ekvivalenčni razred (2, 1) = ...

-1 = ekvivalenčni razred (0, 1) = ekvivalenčni razred (1, 2) = ...

Množica celih števil je tako sestavljena iz množice naravnih števil N, {1, 2, 3, ...}, množice s številom 0, {0}, in množice negativnih celih števil {...,-3,-2,-1}. Množica celih števil je najmanjša grupa, ki vsebuje naravna števila.

Množica celih števil Z s seštevanjem in množenjem (Z, +, ·) tvori popolni obseg. Množica (Z, +, ·), v kateri veljajo običajne aritmetične operacije, je urejen kolobar:

(a, b) ≤ (c, d) Z, če je a + d ≤ b + c N.

Vsa števila, ki so večja od 0 so pozitivna. Število 0 ni pozitivno. Množica celih števil je števno neskončna, podobno kot je množica naravnih števil, ki jo vsebuje.

Množica celih števil ne tvori polja, ker na primer ni takšnega celega števila, da bi veljalo 2 x = 1. Najmanjše polje, ki vsebuje cela števila je množica racionalnih števil.

Tudi cela števila kot naravna števila imajo pomembno lastnost delitve z ostankom. Če imamo dve celi števili a in b, b ≠ 0, lahko vedno najdemo takšni dve celi števili k in l, da bo veljalo:

a = b · k + l     in     0 ≤ l < |b|.

Število k se imenuje količnik (kvocient) in število l ostanek deljenja števila a s številom b. Števili k in l sta enolično določeni z a in b. S takšno delitvijo lahko z Evklidovim algoritmom izračunamo največji skupni delitelj. Največji skupni delitelj dveh celih števil lahko vedno zapišemo kot vsoto mnogokratnikov dveh števil.

Na ta način je množica Z Evklidov obseg. To pomeni, da je Z osnovni idealni obseg in lahko cela števila zapišemo kot produkt praštevil na natanko en način. To je osnovni izrek aritmetike. S celimi števili se kot veja matematike ukvarja teorija števil.

Celo število je po navadi eno izmed preprostih podatkovnih tipov v računalniških jezikih po navadi z dolžino 8, 16 ali 32 bitov. Cela števila se po navadi uporabljajo kot indeksi vektorskih polj (»array«).