ebooksgratis.com

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Legendre-szimbólum - Wikipédia

Legendre-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A névadó
A névadó

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752-1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

Ha p prímszám és a egész szám, akkor az \left(\frac{a}{p}\right) Legendre-szimbólum értéke:

  • 0 ha p osztja a-t,
  • 1 ha a kvadratikus maradék p-re nézve – azaz van olyan egész k hogy k^2 \equiv a \quad (p),
  • – 1 ha a kvadratikus nemmaradék p-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú k szám

[szerkesztés] A Legendre-szimbólum tulajdonságai

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

  1. \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
  2. Ha a \equiv b \mbox { mod } p, akkor \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)
  3. \left(\frac{1}{p}\right) = 1
  4. Ha p páratlan prím, akkor \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} azaz 1, ha p \equiv 1 \mbox{ mod } 4 és – 1, ha p \equiv 3 \mbox{ mod } 4
  5. Ha p páratlan prím, akkor \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} ami 1, ha p \equiv 1 vagy 7 \mbox{ mod } 8\, és – 1, ha p \equiv 3 vagy 5 \mbox{ mod } 8\,
  6. Ha p és q páratlan prímszámok, akkor \left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\mbox{ mod } p

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

[szerkesztés] Általánosítás

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

[szerkesztés] Külső hivatkozások


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -