See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Interpolacija - Wikipedija, prosta enciklopedija

Interpolacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Interpolácija je v matematiki približna vrednost funkcije znotraj obsega znanih nepovezanih vrednosti neodvisne spremenljivke. Imejmo na primer naslednjo tabelo vrednosti fukcije


\begin{matrix}
\mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\
 & \\
1 & 1 \\
2 & 4 \\
3 & 9 \\
\vdots & \vdots \\
4 & 16 \\
5 & 25 \\
\end{matrix}

Vidimo, da lahko odvisnost f(x) prilegamo s funkcijo x². V splošnem pri interpolaciji ni tako. Radi bi vedeli vrednost funkcije f(x), ki odgovarja x = 1,7. Najenostavnejša je linearna interpolacija med vrednostmima za x = 1 in x = 2:

f(1,7)\approx f(1)+\frac{1,7-1}{2-1}(f(2)-f(1))=1+0,7(4-1)=1+0,7\cdot 
3=3,1 \; .

Če je osnovna funkcija res x2, je prava rešitev seveda

f(1,7) = 1,72 = 2,89

Na ta način po navadi interpolacija ni natančna. Zaradi tega lahko interpolacijo uporabimo kot učinkovit algoritemski postopek za 'ugibanje' številskih vrednosti, ki manjkajo, za spajanje točk v grafičnem prikazu, iskanje najboljšega prilega premic njihovim nagibom. V bistvu jo lahko uporabimo vsakokrat kadar želimo pretvoriti nezvezen niz podatkov v zvezno funkcijo.

Pri ekstrapolaciji za razliko iščemo vrednosti funkcije zunaj danega obsega znanih vrednosti. Moramo biti pazljivi, ker tukaj rezultati niso vedno smiselni.

Vsebina

[uredi] Interpolacijski algoritmi

Pri iskanju ustreznega algoritma za interpolacijo vrednosti je potrebno upoštevati več stvari. Na primer kako dobro želimo prilagoditi funkcijo, koliko vrednosti želimo uporabiti za prilagajanje.

[uredi] Interpolacijski postopki

Primerjajmo nekaj splošno uporabljanih interpolacijskih algoritmov, da dobimo vpogled kdaj je kakšen uporaben. V primerih bomo označili zaporedne vrednosti v ciljnem podatkovnem nizu kot v0,v1,v2,v3 in vrednost, ki jo interpoliramo kot x. Tako je naša funkcija


\begin{matrix}
\mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\
 & \\
\lfloor x \rfloor - 1 & v_0 \\
\lfloor x \rfloor & v_1 \\
\vdots & \vdots \\
\lfloor x \rfloor + 1 & v_2 \\
\lfloor x \rfloor + 2 & v_3 \\
\end{matrix}

x_f = x - \lfloor x \rfloor

[uredi] Primer linearne interpolacije

Najpreprostejši postopek je linearna interpolacija, v angleških virih tudi označen z navideznim akronimom lerp.

Imamo dve vrednosti v točkah v1 in v2. Potem določimo približni vrednosti z uteženo srednjo vrednostjo med dvema točkama, ki sta odvisni od vrednosti x. To nam da:

IV = v1(1 - xf) + v2(xf)

Ta algoritem je hiter in enostaven. Težava je, ker dobljena funkcija ni zvezno odvedljiva (oziroma ni odvedljiva pri \lfloor x \rfloor).

[uredi] Primer interpolacije s kosinusom

Ta algoritem je malo obsežnejši od linearne interpolacije, vendar ne preveč.

Tukaj vzamemo dve vrednosti in z vrednostjo za x izračunamo kosinus na intervalu [0\ldots\pi], preslikamo v [\lfloor x \rfloor \ldots \lceil x_i \rceil], kar se na koncu preslika v točki v1 in v2.

F = \frac{1-\cos(x_f\pi)}{2}

IV = v1(1 - F) + v2F

To je le malo boljše od linearne interpolacije. Dobljena funkcija je sicer zvezno odvedljiva, toda odvedljivost je napovedljiva, ker je interpolacija še vedno linearna (odvod je v \lfloor x \rfloor zmeraj enak nič).

[uredi] Primer kubične interpolacije

Kubični algoritem je primer polinomske interpolacije. Ker je število potrebnih koeficientov za izračun kubične funkcije le štiri, je to število členov v večini primerov dovolj.

Aproksimacijski polinom lahko zapišemo v obliki:

f(t) = at3 + bt2 + ct + d

kjer se f(t) preslika na točke

f( - 1) = v0 = - a + b - c + d

f(0) = v1 = d

f(1) = v2 = a + b + c + d

f(2) = v3 = 8a + 4b + 2c + d

Sedaj enačbe rešimo za a,b,c in d, da dobimo:

a=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-v_0+3v_1-3v_2+v_3)

b=\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}(v_0-2v_1+v_2)

c=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-2v_0-3v_1+6v_2-v_3)

d = v1

Z zgornjimi koeficienti tvorimo polinom in ga izračunamo za izbrani x.

 IV = ax_f^3 + bx_f^2 + cx_f + d

Čeprav moramo tukaj najprej izračunati koeficiente krivulje, je ta postopek veliko natančnejši od linearne interpolacije.

[uredi] Interpolacija v višjih razsežnostih

Večrazsežni interpolacijski postopki so posebej prilagojeni od interpolacije vzdolž številskih premic do interpolacije vzdolž ravnin, prostornin ali celo višjih razsežnosti polj numeričnih podatkov.

[uredi] Dve razsežnosti

  • bilinearna interpolacija
  • trilinearna interpolacija

[uredi] Zgodovina

[uredi] Glej tudi

  • linearna interpolacija
  • polinomska interpolacija
  • interpolacija z zlepki
  • prilagajanje funkcije
  • Nyquist-Shannonova interpolacijska enačba


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -