GIMPS
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) — широкомасштабный проект распределённых вычислений по поиску простых чисел Мерсенна.
Содержание |
[править] Цели и методы проекта
Определение того, является ли данное число простым, в общем случае не такая уж тривиальная задача. Только в 2002 году было доказано, что она полиномиально разрешима. Тем не менее, предложенный (и строго обоснованный теоретически) детерминированный алгоритм практически непригоден, в виду его большой, хотя и полиномиальной, сложности. Поэтому в криптографии с открытым ключом, где используются простые числа порядка 10300, простоту по-прежнему определяют с помощью эффективных вероятностных тестов, таких как тест Миллера-Рабина. Важно отметить, что если практика довольствуется числами, являющимися простыми с вероятностью близкой к 1, то теория такие числа не приемлет: если про число утверждается, что оно простое, это должно быть строго доказано. Эта разница подчёркивается в разделение алгоритмов на вероятностные и детерминированные.
Если задаться вопросом, какое же наибольшее простое число[1] известно человечеству — то ответом будет какое-то простое число Мерсенна. Числа Мерсенна имеют вид Mp = 2p - 1. Заметим, что простота числа 2p - 1 влечёт простоту p; в противном случае p = xy для x,y > 1 и число 2p - 1 = 2xy - 1 не будет простым в виду делимости на 2x - 1 (как, впрочем, и на 2y - 1).
Как следует из названия, целью проекта GIMPS является поиск новых простых чисел Мерсенна. Самое большое известное на данный момент простое число M32582657 = 232582657 − 1 было найдено в рамках проекта GIMPS в сентябре 2006 года. Более того, девять (!) предыдущих рекордов также были установлены участниками GIMPS. Причина кроется в наличие эффективного (детерминированного!) критерия их простоты, носящего имя Люка-Лемера. Для поиска простых чисел Мерсенна сервер GIMPS раздаёт клиентам простые «экспоненты» p для проверки числа Mp на простоту тестом Люка-Лемера.
На сегодняшний день достоверно известны только первые 39 простых чисел Мерсенна. Также найдено пять больших простых числа Мерсенна, порядковые номера которых пока не установлены.[2]
[править] Практическая значимость
Простые числа Мерсенна интересны уже тем, что они стабильно удерживают рекорд как самые большие известные простые числа.
Кроме того, простые числа Мерсенна играют важную роль в некоторых проблемах теории чисел. Например, Евклид обнаружил, что если число Mp = 2p - 1 простое, то число Mp(Mp + 1) / 2 = 2p - 1(2p - 1) будет совершенным, т. е. равно сумме своих собственных делителей (примеры таких чисел: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 6 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248), а Эйлер впоследствии доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид (вопрос о существовании нечётного совершенного числа открыт до сих пор).
Остаётся открытым вопрос о бесконечности количества простых чисел Мерсенна и об их асимптотике. Найденные простые числа Мерсенна могут служить отправной точкой для выдвижения и проверки гипотез о поведении простых чисел Мерсенна.
На практике простые числа Мерсенна применяются для построения генераторов псевдо-случайных чисел с большими периодами (см. Вихрь Мерсенна).
[править] Денежные призы
GIMPS намеревается выиграть награду в 100000 долларов США, обещанную[3] Electronic Frontier Foundation за нахождение простого числа из более чем 107 десятичных цифр. Из суммы этого приза планируется сделать выплаты всем «открывателям» предыдущих простых чисел Мерсенна (до 5000 долларов США на каждое), авторам программного обеспечения и авторам новых, более эффективных алгоритмов поиска (если такие алгоритмы будут найдены). Счастливчику нашедшему «то самое» простое число из более чем 107 десятичных цифр будет выплачен остаток, который будет гарантированно не меньше 25000 долларов США.
Текущий рекордсмен M32582657 содержит 9808358 десятичных цифр. Поэтому для достижения планки в 107 цифр, GIMPS надо увеличить показатель (и соответственно длину числа) в 1.02 раза.
Кроме денежного вознаграждения, имя открывателя навсегда будет записано в анналы математики.
[править] Вероятность успеха
Эвристические оценки показывают, что в интервале для p от 10000000 до 80000000 ждут своего открытия ещё два неизвестных простых числа Мерсенна. Подробную информацию о их возможном распределении, а также об ожидаемых трудозатратах на их нахождение, можно узнать на странице статистики(англ.) проекта.
[править] Тестирование аппаратного обеспечения
Клиентская программа GIMPS проводит интенсивные вычисления, постоянно следя за их точностью. Поэтому многие рассматривают её как прекрасный инструмент для тестирования стабильности (англ.) работы аппаратной части компьютера. Пиковые нагрузки и жёсткий контроль позволяют легко выявлять проблемы с памятью, кэшем, шиной данных, разгоном и перегревом процессора и т. п. Для облегчения процедуры тестирования клиент GIMPS предоставляет возможность работы в режиме «stress testing», когда вычисления проводятся для известных простых чисел Мерсенна и результаты вычислений сверяются с ожидаемыми.
[править] Поддерживаемые операционные системы
Клиентская часть ПО проекта GIMPS доступно[4] для следующих операционных систем:
- Microsoft Windows 3.1/9x/NT/2000/XP
- GNU/Linux
- FreeBSD
- OS/2
[править] Примечания
- ↑ The Largest Known Primes(англ.)
- ↑ Table of Known Mersenne Primes(англ.)
- ↑ EFF Cooperative Computing Awards(англ.)
- ↑ Download GIMPS client(англ.)
