Теорема Кантора — Гейне

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

[править] Формулировка

Пусть даны два метрических пространства $(X,\varrho_X)$ и $(Y,\varrho_Y).$ Пусть также дано компактное подмножество $K \subset X$ и определённая на нём непрерывная функция $f:K \to Y, f\in C(K).$ Тогда $f$ равномерно непрерывна на $K .$

п·о·р

Доказательство

Воспользуемся доказательсвом от противного.

Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое ε, что для всех δ>0 существуют такие x и y, расстояние между которыми меньше δ, но расстояние между их образами не менее ε:

$\exists \epsilon>0\ :\quad \forall \delta>0\ \exists x_{\delta},y_{\delta} \in A : \quad d(x,y)< \delta,$ но $d(f(x),f(y))\ge \epsilon.$

Возьмём последовательность δ_k, сходящуюся к 0, например, δ_k=1/k. Построим последовательности x_k и y_k так, чтобы

d(x_k,y_k) < 1/k, тогда d(f(x_k),f(y_k))>ε

A — компакт, поэтому можно выделить сходящиеся последовательности:

$x_{k_j} \to \bar x \in A, \quad y_{k_j} \to \bar y \in A.$

Но так как расстояние между ними стремится к нулю, по лемме о вложенных отрезках они стремятся к одной точке: $\bar x = \bar y = \zeta$ . И, так как f непрерывна $f(x_{k_j} \to \zeta, \quad f(y_{k_j} \to \zeta \Rightarrow d(f(x_{k_j}),f(y_{k_j})) \to 0$ что противоречит предположению, что $d(f(x_k),f(y_k))\ge \epsilon$ .

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

[править] Замечания

В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, $f:[a,b]\subset \R \to \R$ равномерно непрерывна на нём.
В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция