Лемма о вложенных отрезках

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Лемма о вложенных отрезках в математическом анализе — это фундаментальное утверждение, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

[править] Формулировка

Пусть дана последовательность вложенных отрезков $\{X_n\}_{n=1}^{\infty},$ то есть $X_n = [a_n,b_n],\; X_{n+1} \subset X_n,\; n\in \mathbb{N}.$ Тогда

найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть

$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.$
если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна:

$\left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).$

[править] Замечание

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \emptyset.$

[править] Доказательство

1) $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.$

$\left\{ a_n \right\}$ левее $\left\{ b_n \right\}$ Тогда, из определения о вложенных отрезках $\mathcal {8}n : a_n\leqslant c \leqslant b_n => c \in \mathbf{X_n}$

2) $\left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).$

$\left\{ a_n \right\} \uparrow$ , что для любого $n : a_n<b_1\,\!$ , следовательно существует $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\$

$\left\{ b_n \right\} \downarrow$ , что для любого $n : b_n>a_1\,\!$ , и существует $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\$

Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке $\left\{ a_n \right\}$ и $\left\{ b_n \right\}$ равны. Из этого следует, $\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\$

Как нам известно $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\$ , а $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\$ , то

$\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)={\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\ \Rightarrow \ c^{\prime\prime}-c^\prime=0 \Rightarrow \ c^{\prime\prime}=c^\prime$