Неравенство Адамара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике нера́венство Адама́ра, названное в честь Жака Адамара, определяет верхнюю границу объёма тела в $n$ -мерном евклидовом пространстве, заданного n векторами.

Содержание

1 Формулировка
2 Доказательство
3 Матрицы, определители которых достигают границы Адамара
4 Литература
5 См. также

[править] Формулировка

Пусть $v_i \in \mathbb{F}^n, i = 1, 2, \dots, n$ , а $M$ - матрица, столбцами которой являются векторы $v_i: i = 1, 2, \dots, n$ . Тогда

$|det(M)| \leq \prod_{i=1}^n{{||v_i||}_2},$

где ${||\cdot||}_2$ - евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём $n$ -мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

[править] Доказательство

Докажем сначала небольшую лемму.

Лемма Если матрица $A$ размерности $n \times n$ положительно определённая, то

$|A| \leq a_{11}a_{22}\dots a_{nn}.$

Доказательство леммы

$| A |$ можно представить в виде

$|A| = a_{11} \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & \dots & a_{2n} \\ a_{32} & \dots & a_{3n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|.$

Так как $A$ положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным $a_{12}, a_{13}, \dots, a_{1n}$ , каковой является второе слагаемое, отрицательно определённая. В силу этого

$|A| \leq a_{11} \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & \dots & a_{2n} \\ a_{32} & \dots & a_{3n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|.$

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Для доказательства неравенства Адамара осталось только применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице $A = B B t$ .

[править] Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

В комбинаторикe матрицы с элементами из $\left\lbrace +1, -1\right\rbrace$ , для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен $n^{\frac{n}{2}}$ . Из таких матриц получают коды Адамара.

[править] Литература

R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, §7, 1997.
F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, §2.3, 1977.
E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, §11, 1961.

[править] См. также

Граница Плоткина

Категории: Неравенства | Математика

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Неравенство Адамара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Формулировка

[править] Доказательство

[править] Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

[править] Литература

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках