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阿达马不等式 - Wikipedia

阿达马不等式

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数学中的阿达马不等式从上限制了n维歐幾里得空間中，由n支向量\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots \mathbf{v}_n 标出的体积。

这不等式的几何意义是当向量为正交集时体积最大。这结果相对于纯量乘法是同质的，所以只需证明单位向量\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots \mathbf{e}_n的结果。在这情况，不等式指出：若\mathbf M是以\mathbf{e}_i为列向量的n× n 矩阵，则

|\det(\mathbf{M})| \leq 1。

因此，向量\mathbf{v}_i的相应结果是

|\det(\mathbf{A})| \leq \prod \|\mathbf{v}_i\|，

其中\mathbf A是以\mathbf{v}_i为列向量的矩阵，而\|\mathbf{v}_i\|是\mathbf{v}_i的歐幾里得范数（长度）。（就是說若\mathbf{v}_i=(x_k)_{k=1}^n，則

\|\mathbf{v}_i\|= \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}。）

在组合数学中，使等式成立以及列向量\mathbf{v}_i的元素为+1和−1的矩阵是研究对象，它们称为阿达马矩阵。


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