Hadamard-Ungleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Inhaltsverzeichnis

1 Klassische Hadamard-Ungleichung
2 Geometrische Anschauung
3 Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung
4 Bemerkungen

[Bearbeiten] Klassische Hadamard-Ungleichung

Sei $M$ eine $(n\times n)$ -Matrix über den komplexen Zahlen mit den Zeilenvektoren $m_1,\dots,m_n$ . Dann gilt

$|\det M|\,\leq\, \prod_{i=1}^n \|m_i\|_2$

Für die obere Dreiecksmatrix $R$ gilt offenbar $|\det R|\le \|r_1\|_2\cdots \|r_n\|_2$ wobei $\|r_i\|_2=\|Qr_i\|_2=\|m_i\|_2$ ist.

[Bearbeiten] Geometrische Anschauung

Ist $M$ eine $(n\times n)$ -Matrix mit reellen Einträgen, so ist $| det(M) |$ das Volumen des von ihren Zeilenvektoren $m i$ aufgespannten $n$ -dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen ist höchstens so groß wie das Volumen $\prod_{i=1}^n \|m_i\|_2$ des $n$ -dimensionalen Quaders mit Kanten der gleichen Längen.

[Bearbeiten] Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung

Sei $(R,|\cdot|)$ ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und $M$ eine $(n\times n)$ -Matrix über $R$ mit den Zeilenvektoren $m_1,\dots,m_n$ . Dann gilt

$|\det M|\,\leq\, \prod_{i=1}^n \|m_i\|_1$

mit der 1-Pseudonorm.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen $\|x\|_2\leq \|x\|_1$ die schärfere Abschätzung.
Liegt ein Ring $R\subseteq\Bbb C$ mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen $\Z$ ), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.