Дифференциальное исчисление
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной (дифференциала) в их применении к исследованию функций.
Содержание |
[править] Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Наиболее просто основные теоремы дифференциального исчисления формулируются для гладких функций.
[править] Производные и гладкие функции
Пусть функция g(h) определена в окрестности h = 0 и для любого ε найдется такое δ, что
- | g(h) / hn | < ε, лишь только | h | < δ,
тогда говорят, что g(h) - бесконечно малое порядка o(hn).
Пусть f(x) - вещественнозначная функция, заданная на отрезке (a,b). Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале (a,b), если
для любого и любого n. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается полиномом. Гладкие на отрезке (a,b) функции образуют кольцо гладких функций .
Коэффициенты f(n)(x) сами оказываются гладкими функциями на рассматриваемом отрезке, причем
Эти функции называют производными функции f(x). Первая производная может быть вычислена как предел
- .
Оператор, сопоставляющий функции f(x) ее производную f'(x) обозначают как
При этом для двух гладких функций f и g верно
- D(f + g) = Df + Dg и D(fg) = fDg + gDf
Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.
Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке (a,b), является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые – нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.
[править] Касательная прямая
- y = f(c) + f'(c)(x − c)
пересекает кривую
- y = f(x)
в точке (c,f(c)) таким образом, что знак выражения
при условии все время остается одним и тем же, поэтому кривая
- y = f(x)
лежит по одну сторону от прямой
- y = f(c) + f'(c)(x − c)
Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке x = c (по Б. Кавальери). Точку x = c, в которой кривая
- y = f(x)
не лежит по одну сторону от прямой
- y = f(c) + f'(c)(x − c)
называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.
[править] Точки экстремума
Точка x = c называется точкой локального максимума (минимума), если
для всех достаточно малых по модулю h. Из соотношения
сразу видно, что f'(c) = 0 - необходимое условие максимума, а f''(c) < 0 - достаточное условие максимума. Условие f'(c) = 0 выделяет точки максимума, минимума и перегиба.
[править] Непрерывные функции
Пусть f определена и на концах интервала [a,b]; говорят, что она непрерывна на [a,b], если для любого ε найдется такое δ, что
- | f(x) − f(x + h) | < ε, лишь только | h | < δ,
и точки не выходят за границы интервала [a,b]. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале [a,b] функции образуют кольцо непрерывных функций C[a,b].
[править] Основные теоремы дифференциального исчисления
Кольцо непрерывных на [a,b] и гладких на (a,b) функций обладает рядом важных свойств:
- Теорема Ролля: если f(a) = f(b) = 0, то имеется точка максимума или минимума, в которой f' обращается в нуль.
- Теорема Лагранжа: существует такая точка , что
- Теорема Коши: если на (a,b), то существует такая точка , что
Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезка найдутся такие точки cn, что
где
При помощи этой формулы можно приближенно вычислять значения функции в точке b' по известным значениям функции и ее производных в точке a'.
Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если f(b) = g(b) = 0 или , и на (a,b), то
причем существование второго предела влечет существование первого.
[править] См. также
Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |