Теорема Ролля
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что
|
Если функция, непрерывная на сегменте [a;b] и дифференцируемая на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. |
Содержание |
[править] Доказательство
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала (свойство непрерывных функций), то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
[править] Геометрический смысл
Если крайние ординаты кривой равны, то согласно теореме Ролля на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
[править] История
Первое строгое доказательство дaл Ролль.
