Lemniscata de Bernoulli
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A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:
A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,
pela respectivas coordenadas bipolares,
ou pela equação paramétrica:
A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito (
).
A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante. A oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.
Bernoulli chamou isto de lemniscus que é em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).
Índice |
[editar] Derivadas
Cada derivada abaixo foi calculada usando derivações implícitas.
[editar] Com y em função de x
[editar] Com x em função de y
[editar] Curvatura
Quando as duas primeiras derivadas são conhecidas, a curvatura é facilmente calculada:
O sinal a ser escolhido deve ser de acordo com a direção de movimento ao longo da curva. A lemniscata tem a propriedade da qual a magnitude da curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância daquele ponto da origem.
[editar] Comprimento de arco como parâmetro e funções elípticas
A determinação do comprimento de arco como parâmetro da lemniscata levou as integrais elípticas, descobertas durante o século XVIII. Por volta de 1800, essa função elíptica era estudada por Carl Friedrich Gauss. Largamente inédito na ocasião, mas foram feitas insinuações a elas nas notas do trabalho dele "Disquisitiones Arithmeticae".
