Przestrzeń liniowo-topologiczna
Z Wikipedii
Przestrzeń liniowo-topologiczna - przestrzeń liniowa w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologiczej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.
Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Jeśli jest przestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a τ jest topologią w zbiorze X, to przestrzeń nazywamy przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy (X,τ) jest T1-przestrzenią oraz dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).
[edytuj] Ogólne własności
Dla każdego punktu i każdego skalara odwzorowania: i są homeomorfizmami przestrzeni X na przestrzeń X, więc zasadne jest badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób, przez homeomorfizmy, na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni X dają się oddzielać zbiorami otwartymi.
[edytuj] Zbiory ograniczone
Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór A nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje , że .
Można wykazać, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi byc to prawda nawet wtedy, gdy metryka na X jest niezmiennicza tzn. spełnia warunek dla .
[edytuj] Charakteryzacja zbiorów ograniczonych
Równoważnie, zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje takie , że dla każdego zbiór A zawiera się w zbiorze βU.
Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego ciągu elementów tego zbioru i każdego ciągu elementów ciała K, zbieżnego do zera.
[edytuj] Zbiory zbalansowane
Zbiór nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego takiego, że | α | = 1 zbiór .
Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każe wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.
[edytuj] Klasy przestrzeni-liniowo topologicznych
W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X,τ) jest:
- lokalnie wypukła, gdy istnieje baza otoczeń w X, której elementy są zbiorami wypukłymi;
- lokalnie ograniczona, jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
- lokalnie zwarta, jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
- F-przestrzenią[1], jeśli τ jest zadana przez zupełną, niezmienniczą metrykę;
- przestrzenią Frécheta[1] jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
- normowalna, jeśli w X istnieje taka norma, że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z τ.
Ponadto, mówi się przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, jeśli każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.
Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń[2]. Przestrzeń X jest, natomiast, normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.
[edytuj] Przykład - produkt przestrzeni liniowo-topologicznych
Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.
Na przykład, przestrzeń X wszystkich funkcji rzeczywistych może być utożsamiany z przestrzenią , wyposażoną w topologię Tichonowa. X nazywa się topologią zbieżności punktowej [3]. Przestrzeń ta jest zupełna, ale nie jest normowalna.
[edytuj] Ciągi Cauchy'ego w przestrzeniach liniowo-topologicznych
Pojęcie ciągu Cauchy'ego można przenieść w naturalny sposób na przestrzenie liniowo-topologiczne bez uciekania się do pojęcia metryki. Przyjmowana jest następująca definicja:
Ciąg punktów przestrzeni liniowo-topologicznej X nazywany jest ciągiem Cauchy'ego (w przestrzeni X) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje taka liczba naturalna n0, że dla n,m > n0
- .
W przestrzeni liniowo-topologicznej:
- każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego,
- zbiór wyrazów ciągu Cauchy'ego jest ograniczony,
- każdy ciąg Cauchy'ego mający podciąg zbieżny jest zbieżny.
Jeżeli topologia przestrzeni X jest wyznaczona przez metrykę , spełniającą warunek
- dla ,
to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego względem metryki .
W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest F-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy'ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.
[edytuj] Bibliografia
- Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, ss. 19-24.
Przypisy
- ↑ 1,0 1,1 Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta - inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią
- ↑ Zob. Pierwszy aksjomat przeliczalności
- ↑ Zob. Zbieżność punktowa ciągu funkcji