Przestrzeń regularna

Z Wikipedii

Przestrzeń regularna i przestrzeń T₃ to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Spis treści 1 Definicje 2 Dyskusja nazewnictwa 3 Przykłady 4 Własności 5 Zobacz też 6 Bibliografia

[edytuj] Definicje

Powiemy że w przestrzeni topologicznej X punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie że i :

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że punkt x i zbiór domknięty F są rozdzielone przez otoczenia otwarte U,V.

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

[edytuj] Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń T₃ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

• przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
• przestrzeń T₃ jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

• bycie przestrzenią T₃ i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także bedziemy się jej trzymać.

[edytuj] Przykłady

• Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest T₃. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są . Na przykład rozważmy podzbiór płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze M wprowadzamy topologię τ przez określenie bazy otoczeń w każdym punkcie :

• jeśli y > 0, to ,
• jeśli y = 0, to składa się ze wszystkich zbiorów postaci , gdzie B jest zbiorem skończonym,
• , gdzie .

Wtedy (M,τ) jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.

• Istnieją przestrzenie T₂ które nie są T₃. Rozważmy na przykład zbiór X = [0,1] z topologią τ otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na [0,1] o zbiór . Wtedy (X,τ) jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.

[edytuj] Własności

• Przestrzeń topologiczna X spełniająca warunek T₁ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy

dla każdego punktu i jego otoczenia otwartego V (tak więc ) istnieje otoczenie U punktu x którego domknięcie jest zawarte w V (tzn ).

• Każda regularna przestrzeń topologiczna X która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
• Podzbiór przestrzeni T₃ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią T₃. Własność być przestrzenią T₃ jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T₃ jest przestrzenią T₃.

[edytuj] Zobacz też

• aksjomaty oddzielania,
• przestrzeń Hausdorffa (T₂),
• przestrzeń Tichonowa ().

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 52.
2. ↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 38. ISBN 3-88538-006-4