Miara wewnętrzna regularna

Z Wikipedii

Miara wewnętrzna regularna – w matematyce miara, dla której miara zbioru może być przybliżana od dołu przez podzbiory zwarte.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a $\mathfrak M$ σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $τ$ (tak, że każdy zbiór otwarty jest zarazem mierzalny, a $\mathfrak M$ jest co najmniej tak silna, jak σ-algebra borelowska na $X$ ). Miarę $μ$ określoną na przestrzeni mierzalnej $(X, \mathfrak M)$ nazywa się wewnętrzną regularną, jeżeli dla każdego zbioru $A \in \mathfrak M$ zachodzi

$\mu(A) = \sup \{\mu(K)\colon \mbox{zwarty } K \subseteq A\}$ .

Własność tę określa się czasami słownie jako „przybliżanie od dołu przez zbiory zwarte”.

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: MSZ równoważność poniżej nie ma miejsca w przypadku ogólnym - nasze miary mogą mieć wartości nieskończone - a wtedy ewidentnie źle

Niektórzy autorzy^[1] używają terminu „ciasna (jędrna)” jako synonimu dla „wewnętrzna regularna”. Nazwa ta jest blisko związana z jędrnością rodziny miar, ponieważ miara $μ$ jest wewnętrzna regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje pewny podzbiór zwarty $K \subseteq X$ taki, że $\mu(X \setminus K) < \varepsilon$ . Jest to dokładnie warunek na to, aby jednoelementowa rodzina miar ${μ}$ była jędrna.

Przypisy

↑ Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G.: Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005. ISBN 3-7643-2428-7.